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- 2024-04-04 发布
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3.2 均值不等式
1.了解均值不等式的证明过程.
2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)
3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 均值不等式
阅读教材P69～P71，完成下列问题.
1.重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).
2.均值不等式≤
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
3.算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；
(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝4.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤.( )
(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(5)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.( )
【解析】 (1)×.任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立.
(2)×.只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立.
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(3)√.因为≤，所以ab≤.
(4)×.因为不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；而≥成立的条件是a，b均为非负实数.
(5)√.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
教材整理2 均值不等式的应用
阅读教材P70例1～P71例3，完成下列问题.
用均值不等式求最值的规律
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )
(3)当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.( )
(4)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.( )
(5)若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为.( )
【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知.
(2)√.因为≤＝＝2，所以ab≤4.
(3)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数f(x)的取到最小值3.
(4)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而≥＝9，
所以m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，
m＋n取到最小值18.
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(5)√.因为x，y∈R＋，而4xy≤＝＝，所以x·y≤.
当且仅当x＝4y，即x＝，y＝时取等号.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
[小组合作型]
利用均值不等式比较代数式的大小
(1)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是______.
(2)给出下列命题：
①若x∈R，则x＋≥2；
②若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2；
③若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；
④不等式＋≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________.
【精彩点拨】 (1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c两两乘积的和，联想均值不等式求解.
(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.
【自主解答】 (1)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
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(2)只有当x>0时，才能由均值不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a>0，b>0时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有lg a>0，lg b>0，故lg a＋lg b≥2不一定成立，故②错误；当a<0，b<0时，ab>0，由均值不等式可得ab＋≥2＝2，故③正确；由均值不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故④错误.
【答案】 (1)p>q (2)③
1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.
2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
[再练一题]
1.设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由.
【导学号：18082044】
【解】 ∵a>0，b>0，∴＋≥，
即≥(当且仅当a＝b时取等号)，
又＝
≤＝，
∴≤(当且仅当a＝b时等号成立)，
而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立).
不等式的证明
已知a，b，c为不全相等的正实数.
求证：a＋b＋c>＋＋.
【精彩点拨】
【自主解答】 ∵a>0，b>0，c>0，
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∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.
∴a＋b＋c>＋＋.
1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.
2.利用均值不等式证明不等式的策略
从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
3.利用均值不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.
[再练一题]
2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
【证明】 法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋.
故＝＝
5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号).
法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤＝，于是≥4，≥8.
因此≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
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均值不等式的实际应用
如图321，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
图321
【导学号：18082045】
【精彩点拨】 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值.
【自主解答】 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，
∴00.∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
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(4)正确写出答案.
2.对于函数y＝x＋(k>0)，可以证明x∈(0，]及[－，0)上均为减函数，在[，＋∞)及(－∞，－]上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含±，可用均值不等式，不包含±就用函数的单调性.
[再练一题]
3.某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
【解】 (1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元，则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.
(2)年平均利润为＝－2
≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号.
∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.
[探究共研型]
利用均值不等式求最值
探究1 由x2＋y2≥2xy知xy≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？
【提示】 最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.
探究2 小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：
“因为y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋
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的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？
【提示】 不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，y＝x＋的最小值是2；当x<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2.
探究3 已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？
“解：∵y＝＝x＋≥2＝4，
∴当x≥3时，y＝的最值为4.”
【提示】 不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可.本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立.本问题可采用y＝x＋的单调性求解.
(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知00，求f(x)＝的最大值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值.
【精彩点拨】 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征.
(1)4x－2＋＝4x－5＋＋3.
(2)x(1－2x)＝·2x·(1－2x).
(3)＝.
(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y).
【自主解答】 (1)∵x<，∴5－4x>0，
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∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
(3)f(x)＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立.
(4)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.
2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.
3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.
[再练一题]
4.已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
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A.10 B.9 C.8 D.7
【解析】 ∵a>0，b>0，∴2a＋b>0，∴要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立.∴m≤9.故应选B.
【答案】 B
1.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3
【解析】 由a＋b＝2，得ab≤＝1，排除选项A，B.由≥2，得a2＋b2≥2.
【答案】 C
2.已知x＞1，y＞1且lg x＋lg y＝4，则lg xlg y的最大值是( )
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】 ∵x＞1，y＞1，∴lg x＞0，lg y＞0，lg xlg y≤＝4，当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时取等号.
【答案】 A
3.函数y＝log2(x＞1)的最小值为( )
A.－3 B.3 C.4 D.－4
【解析】 ∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当x＝2时，取“＝”，
∴log2≥3，∴ymin＝3.
【答案】 B
4.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
【解析】 ∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得
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≥3，即ab≥9.
【答案】 [9，＋∞)
5.(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值.
【解】 (1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x＜时，有3－2x＞0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号.
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
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