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- 2024-04-04 发布
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二（上）期中
数学试卷（理科）B卷
一、选择题（本大题共12小题）
1.设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a+1)(a－3)，a∈R，则有( )
A. M＞N B. M≥N
C. M＜N D. M≤N
【答案】A
【解析】
试题分析：恒成立，所以．故A正确．
考点：作差法比较大小．
2.已知mn，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项．
【详解】∵mn，则取m=1，n=0，a=0，b=2，c=0，可排除A，B，D．
对C，∵m＞n，∴-m＜-n，∴成立，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
3.在△ABC中，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.
【详解】由余弦定理：
可得：
解得：或
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查基础运算能力.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6=12，则a3+a4=（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
将S6转化为用a3和a4表达的算式，即可得到a3+a4的值．
【详解】由等差数列{an}前n项和为Sn，得S6===12，解得a3+a4=4.
故选：B．
【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式，考查了等差中项的性质，属于基础题．
5.已知ABC的周长为18，且sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：3：2，可设a=4k，b=3k，c=2k，由余弦定理可得cosA值．
【详解】∵由正弦定理得：在ABC中，sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：3：2，∴可设a=4k，b=3k，c=2k，k＞0，
∴由余弦定理可得：cosA===-．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（ ）
A. B. C. 17 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10（各项不为0）成等比数列，即可得出．
【详解】由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，
不妨设S5=1，由，可得S10=5．∴（5-1）2=1×（S15-5），解得S15=21，则=．
故选：B．
【点睛】本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.设ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为，则∠C为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】设ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为，
所以，整理得tanC=1，由于0＜C＜π，所以C=．
故选：C
【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.已知等比数列满足，则（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，可以求出的值，连同已知，可以求出
的值，进而求出首项和公比，分类求出的值。
【详解】等比数列有，而，
联立组成方程组，或，设公比为
当时，解得，
当时，解得，，故本题选D。
【点睛】本题考查了等比数列的性质、通项公式。
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S16＜0，S17＞0，则Sn的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的求和公式可得，a1+a16＝a8+a9＜0，a1+a17＝2a9＞0，从而可得a8＜0，a9＞0，即可判断．
【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S16＜0，S17＞0，，∴a1+a16=a8+a9＜0，
，∴a1+a17=2a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴a1＜0，d＞0，则当n=8时，
Sn取最小值S8．
故选：C．
【点睛】本题考查了等差数列前n项和与等差数列性质的简单应用，属于基础题．
10.设变量x、y满足，则2x+3y的最大值为（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
先画出满足约束条件的平面区域，结合目标函数z＝2x+3y的几何意义取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】变量x、y满足的平面区域如图所示：
令z=2x+3y可得y=-x+，则为直线2x+3y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大，
作直线l：2x+3y=0，把直线向上平移可得过点A时2x+3y最大，由可得x=1，y=3，此时z=11．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键，属于基础题．
11.在ABC中，若，则△ABC是（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用倍角公式降幂，再把B用A和C表示，然后利用两角和与差的余弦公式变形求解即可．
【详解】由，得sinAsinC=，则2sinAsinC=1+cosB=1-cos（A+C）=1-cosAcosC+sinAsinC，
∴cosAcosC+sinAsinC=1，即cos（A-C）=1．∵-π＜A-C＜π，∴A-C=0，得A=C．∴ABC是等腰三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，属于基础题．
12.已知x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用“1”的代换的思想，由已知可得=（）（x+y）=5+，再利用基本不等式可求最值．
【详解】∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）（x+y）=5+=5，
当且仅当且x+y=1，当且仅当x=3，y=时取等号，
≥=，即最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的性质，考查转化思想，“1”代换的应用，考查计算能力，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5•a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=______．
【答案】15
【解析】
【分析】
由等比数列及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1•a2•…•a10）＝log3（3）15＝15．
【详解】由等比数列{an}的性质可得：a1•a10=a2•a9=…=a5•a6，
由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1•a2•…•a10）=log3（27）5=log3（3）15=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
14.对于x∈R，式子恒有意义，则常数m的取值范围是______
【答案】[0，4）
【解析】
分析】
由题意，恒成立，分m=0及m≠0两种情况讨论即可．
【详解】对于x∈R，式子恒有意义，所以被开方数需要恒大于0，即mx2-mx+1＞0恒成立，
当m=0时，，显然恒成立，
当m≠0时，要使mx2-mx+1＞0恒成立，则，解得0＜m＜4，
综上，实数m的取值范围为[0，4）．
故答案为：[0，4）．
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查不等式的解法及转化思想，属于基础题．
15.若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是______
【答案】an=．
【解析】
【分析】
由题意得，求出即可.
【详解】∵数列{an}的前n项和，∴当时，a1=S1=2-4=-2，
当n≥2时，．
检验：当时，不适合上式，∴{an}的通项公式是an=．
故答案为：an=．
【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系，解题时要认真审题，属于基础题.
16.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是___
【答案】
【解析】
【分析】
分两种情况来做，当x为最大边时，只要保证x所对的角为锐角即可；当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角即可．
【详解】分两种情况来做，当x为最大边时，由余弦定理可知只要22+32﹣x2＞0即可，可解得
当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角即可，则有22+x2﹣32＞0，可解得
综上可知x的取值范围为，
故答案为．
【点睛】本题考查余弦定理得运用，应注意分类讨论，是基础题
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.求函数的最大值，以及此时x的值．
【答案】，
【解析】
试题分析：
整理函数的解析式为 ，结合均值不等式的结论可得当时，函数的最大值为.
试题解析：
因为，所以，得
因此
当且仅当，即时，等号成立
由，因而时，式中等号成立
因此，此时
18.在中，，，已知，是方程的两个根，且．
（1）求角的大小；
（2）求的长．
【答案】,
【解析】
试题分析：解：（1），所以
（2）由题意得
∴
=
∴
考点：本题考查余弦定理，三角函数诱导公式的应用
点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题
19.在公差不为零的等差数列{an}中，a4=10，且a3、a6、a10成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和.
【答案】（1）an= n+6； （2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列以及等比数列关系，求出公差，然后求解数列的通项公式即可；
（2）化简数列{bn}的通项公式，判断数列是等比数列，然后求数列的和．
【详解】（1）设数列{an}的公差为d，且a4=10，则a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得，即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2，
整理得10d2-10d=0，解得d=1或d=0（舍），∵a4=10，d=1，∴a1=7，
所以，an=a1+（n-1）d=n+6．
（2）由（1）得，当n=1时，b1=2；当n≥2时，．
故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，．
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的应用，等比数列的求和，考查计算能力，属于基础题．
20.在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小；
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得的最大值.
【详解】(Ⅰ)，
,即.
，.
(Ⅱ)，
，∴当即时，取得最大值1.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
21.设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；
（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．
【详解】（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+3x＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得 x＞3或x＜﹣1．
故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．
（2） 由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组：或 ．即 a≤x≤，或x≤﹣，
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题意可得﹣＝﹣1，故a＝2
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题．
22.
设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）
（2）略
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时，．
当时，
．
∵不适合上式,
∴
（2）证明: ∵．
当时，
当时，, ①
． ②
①－②得:
得，
此式当时也适合．
∴N．
∵，
∴．
当时，，
∴．
∵，
∴．
故，即．
综上，．
考点：本题主要考查数列的概念，等差数列、等比数列的基础知识，“错位相减法”，“放缩法”证明不等式。
点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。“分组求和法”、“错位相消法”、“裂项相消法”是高考常常考到数列求和方法。先求和，再利用“放缩法”证明不等式，是常用方法。