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- 2024-04-03 发布
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第2章 2.2.2 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析： 由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选D.
答案： D
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2 B．5,4
C．9,1 D．5,1
解析： 因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
答案： C
3．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析： 由题意知4a＝16，即a＝4，
又∵e＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案： B
4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析： 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴acos 60°＝c，∴＝，
即椭圆的离心率e＝，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
解析： 依题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，
∴＝，
∴＝，
∴b2＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案： ＋＝1
6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析： 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c，
由题意可得2a＋2c＝4b，a＋c＝2b，又b＝，
所以a＋c＝2，
整理得5e2＋2e－3＝0，e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程．
解析： e＝＝＝，
∴＝，
∴a2＝3b2，即a＝b.
过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1.
把a＝b代入，即x－y－b＝0，
又由点到直线的距离公式得＝，
解得b＝1，∴a＝，
∴所求方程为＋y2＝1.
8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解析： 方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)．M点的坐标为，
则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.
所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，
∴e＝.
方法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则M，代入椭圆方程，得＋＝1，
所以＝，
所以＝，即e＝.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解析： 因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.设P(x，y)．
所以kPA＝，kPB＝.
所以kPA·kPB＝·＝.
因为点P在椭圆＋＝1上，
所以y2＝16×＝16×.
把y2＝16×代入kPA·kPB＝，得
kPA·kPB＝＝－.
所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.
