数学理卷·2019届福建省龙海市第二中学高二上学期期末考试（2018-01） 8页

龙海二中2017-2018学年上学期期末考试 ‎ 高二理科数学试卷 ‎ （考试时间：120分钟 总分：150分）‎ ‎★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。‎ 一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知条件p：x≤1，条件，q：<1，则p是q的 （ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 开始 结束 S=0‎ n=2‎ k=k+1‎ n=n+2‎ k=1‎ k≤10?‎ 否 输出s 是 ‎2．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的 横坐标（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．已知程序框图如图1所示，则该程序框图的功能是（ ） ‎ A.求数列的前10项和 ， ‎ B.求数列的前10项和 ，‎ C.求数列的前11项和 ‎ D.求数列的前11项和 ‎ 图1‎ 第4题图 ‎4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 俯视图 正视图 ‎5．若，则函数的导函数等于（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．下图是我校“班班有歌声”评选会上，7位裁判为某班级打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字．‎ 这些数据中去掉一个最低分和一个最高分后，所剩数据的平均数是( )‎ A． 86.6 B． 86.7 C．86.8 D．86.9‎ ‎7．设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 某同学在四次数学测试中得分为100，x，100，80，已知这组数据的平均数为90，则这组数据的标准差是（ ）‎ A．10 B．40 C．100 D．400‎ ‎9. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是，则当x=6时，y的预测值为（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.5‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1‎ ‎10．已知空间直角坐标系中有一点A（1，1,1），点是平面内的直线 ‎ 上的动点，则两点间的最短距离是（ ）‎ A. B. C.2 D. ‎ ‎11．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则函数y＝f(f(x)) 的零点个数为( )‎ A． 6 B．7 C．8 D．9‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．我校对全校男女学生共2400名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为300的样本．已知男生比女生少抽了15人，则我校的男生人数应是 人．‎ ‎14．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .‎ ‎15．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 ．‎ ‎16．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和，则函数在上为增函数的概率是 ‎ 三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ ‎ 在某次三数学测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用表示编号为n的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩 ‎ ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s；‎ ‎(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率。‎ ‎18．（本小题满分12分）已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大。（1）求抛物线C的方程；（2）在（1）的条件下，直线l与抛物线线C相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若以AB为直径的圆恰好经过抛物线的顶点．则直线是否经过某定点? 若有，求出该定点，若没有，请说明理由。‎ ‎19．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）若在处的切线与垂直，求的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ 如图，底面为正方形的直四棱柱中，‎ ‎，点在上，且.(1)证明：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．‎ ‎（1） 若f（x）在 处取得极值，求实数a的值；‎ ‎（2） 在（1）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆相交与，两点，为坐标原点，则在椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？请说明理由.‎ 龙海二中2017-2018学年上学期期末考试 高二数学（理）试卷参考答案 一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B B B D C D A B B C D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 1140 14． 15．6 16．.‎ 三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ ‎ 解：（1）∵这6位同学的平均成绩为75分，，解得，这6位同学成绩的方差 标准差s=7. ......5分 ‎(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：（70,76），（70,72），（70,70），（70,72）（76,72），（76,70），（76,72），（72,70），（72,72），（70,72），共10种，恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的有：（70,76），（76,72），（76,70），（76,72），共4种，所求的概率为，即恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率为0.4. ......10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）. ......3分 ‎ (2) 设点A，B的坐标分别为（，），（，）（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．联立方程得：消去y得，由题意：=，，又由以AB为直径的圆恰好经过抛物线的顶点，得OA⊥OB，得，即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）‎ ‎（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程解得 ，即=-2m，又由OA⊥OB得，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．......12分 ‎19.(本小题满分12分）‎ 解析：（1）∵的定义域为，，∴，即……………4分 ‎（2）∵，‎ ‎①当时，，∴在上单调递减，∴当时，矛盾．‎ ‎②当时，，令，得；，得．‎ ‎（i）当，即时，时，，即递减，∴矛盾．‎ ‎（ii）当，即时，时，，即递增，∴满足题意． 综上:．.... 12分 ‎20.（本小题满分12分） 解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴,D为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D－xyz. 依题设知B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．则＝(0,2,1)，＝(2, 2,0)，＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)......3分 (1) 证明：∵·＝0，·＝0，‎ ‎∴A1C⊥BD，A1C⊥DE. 又DB∩DE＝D，‎ ‎∴A1C⊥平面DBE..........6分 ‎(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥、n⊥.‎ ‎∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．.....8分 ‎∴cos〈n，〉＝......10分 ‎∴二面角A1－DE－B的余弦值为....12分 ‎21. （本小题满分12分）解:（1）f'（x）=﹣3x2+2ax，由题意得，解得a=2，经检验满足条件．......6分 ‎（2）由（1）知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f'（x）=﹣3x2+4x，‎ 令f'（x）=0，则x1=0，（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎﹣1‎ ‎（﹣1，0）‎ ‎0‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎﹣1‎ ‎↘‎ ‎﹣4‎ ‎↗‎ ‎﹣3‎ ‎∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∴f（x）极小值=f（0）=﹣4，如图构造f（x）在[﹣1，1]上的图象．又关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，则﹣4＜m≤﹣3，即m的取值范围是（﹣4，﹣3]．‎ ‎ ......12分 ‎22. （本小题满分12分）解：（1）依题意， ……………2分 ∴，……………3分 ‎ ∴椭圆的方程为 ………4分 ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则其方程为由 得 ……………5分 ‎ ∵ ∴ ……6分 ‎ 设，，假设在椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，则有，，……………7分 ‎ ………8分 ∴‎ ‎ ∴， ………9分 ‎∵点在椭圆上∴ ………10分 ‎ 即 解得：……………11分 ‎ 所以在椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形. ………12分