数学文卷·2018届广东省汕头市潮阳实验学校高二下学期期中考试（2017-04） 10页

潮州实验学校2016-2017学年第二学期期中考试试题 高二文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.某产品的广告费用（百万元）与销售额（百万元）的统计数据如下表：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎33‎ ‎54‎ ‎75‎ 根据表中数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ）‎ A．46 B．48 C．50 D． 52‎ ‎4.在中，设，，且，，，则（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎5.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个单位长度 ‎ C.向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”‎ ‎，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1000尺，则需要几天时间才能打穿（结果去整数）（ ）‎ A．8 B．9 C.10 D．11‎ ‎7.如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）‎ A．2 B． C.4 D．‎ ‎8.设等差数列的前项为，已知，，若，则（ ）‎ A．6 B．7 C.13 D．14‎ ‎9.若关于，的不等式组，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ）‎ A．1或 B．或 C.1或 D．或 ‎10.过双曲线：（，）的左焦点作圆：的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是（ ）‎ A． B．5 C. D．‎ ‎12.已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数，满足的的取值集合是 ．‎ ‎14.执行如下图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为 ．‎ ‎15.若数列的首项，且（），则数列的通项公式是 ．‎ ‎16.已知抛物线，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，且直线与轴交于点，若为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，在是直角斜边上一点，.‎ ‎（Ⅰ）若，求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的长.‎ ‎18. 2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，收到全国人民的瞩目。纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：‎ 参加纪念活动的环节数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 概率 ‎（1）若，则从这60名抗战老兵中按照参加纪念活动的环节数分层抽取6人进行座谈，求参加纪念活动环节数为1的抗战老兵中抽取的人数；‎ ‎（2）某医疗部门决定从（1）中抽取的6名抗战老兵中随机抽取2名进行体检，求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积 ‎20. 已知椭圆：（）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且三角形的面积为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是椭圆的左、右焦点，过，任作两条平行直线分别交椭圆于，和，不同四点，求四边形的面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）对任意，恒成立，求整数的最大值 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数，），以为极点，轴负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程是，直线：（）与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CBDCA 6-10:CBBBA 11、12：CB 二、填空题 ‎13.或 14.15 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ）在中，根据正弦定理，有.‎ 因为，所以 又，所以 于是，所以 ‎（Ⅱ）设，则，，‎ 于是，，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 即，得 故 ‎18.（1）由题意可知：，又，解得，‎ 故这60名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为0,1,2,3的抗战老兵的人数分别为10,20,10,20，其中参加纪念活动的环节数为1的抗战老兵中应抽取的人数为.‎ ‎（2）由（1）可知抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，记为，2名参加了1个环节，记为，，1名参加了2个环节，分别记为，2名参加了3个环节，分别记为，，从这6名抗战老兵中随机抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，‎ 记“这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3”位事件，则事件包含的基本事件为，，，，，，，，，共9个基本事件.‎ 所以 ‎19.（Ⅰ）连接，.在平行四边形中，‎ 因为为的中点，所以为的中点，‎ 又为的中点，所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为，且，所以.‎ 即.‎ 又平面，平面，所以，‎ 因为，所以平面.‎ 取的中点，连结，则，‎ 因为平面，所以，‎ 所以 ‎20.解：（Ⅰ）依题意解得 即椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）显然直线，的斜率不为0，设过椭圆右焦点的直线为，，则整理得，显然 ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵，且分别过椭圆左右焦点，所以四边形为平行四边形，且为四边形的中心 四边形，‎ 令，则，‎ 注意到在上单调递减，所以，当且仅当，即时等号成立，故这个四边形的面积最大值为.‎ ‎21.（Ⅰ）解：由得，，所以曲线在点处的切线斜率为，∵，‎ ‎∴曲线切线方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 等价于 ‎，因为，所以问题可转化为对任意恒成立 设（），则，‎ 不妨设（），‎ 则，所以在上单调递增，‎ 且，，所以在上有唯一零点，‎ 使得：在上，，，单调递减，‎ 在上，，单调递增，‎ 故，‎ 又导函数的零点满足 即，‎ 从而的最小值可替换为 所以整数，所以整数的最大值是3‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，又，，所以曲线的极坐标方程为，‎ ‎（Ⅱ）设，则有，解得，，‎ 设，则有，解得，，‎ 所以 ‎23.解：（1）当时，或 ‎∴原不等式的解集为 ‎（2）‎ 令 故，故所求实数的取值范围为 ‎