山东省潍坊市2019-2020学年高一4月阶段考试数学试题 Word版含解析 16页

- 1 - 高一阶段性考试数学试题 2020.4 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1.2100°的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用角度与弧度的互化公式计算即可. 【详解】由题意得 ， 故选 A. 【点睛】本题考查了弧度制的转化，考查了角的表示方法，属于基础题. 2. 是向量 为单位向量的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由单位向量的定义，即得解 【详解】由单位向量的定义，可知 是向量 为单位向量的充要条件 故选：C 【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于基础题. 3.已知 ， ，则 的最小值为（ ） A. -1 B. 1 C. 4 D. 7 【答案】B 35π 3 10π 28π 3 25π 3 π 35π2100 =2100 =180 3 × 1e = e 1e = e 3a = 4b = a b+  - 2 - 【解析】 【分析】 转 化 ， 由 即得解 【详解】由题意： 故 故 故选：B 【点睛】本题考查了利用数量积研究向量的模长，考查了学生转化划归，数学运算的能力， 属于基础题. 4.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 先由已知条件求出扇形的半径为 ，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为 ， 由弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，可得 ， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是 ， 故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 5.（2015 新课标全国Ⅰ文科）已知点 ，向量 ，则向量 A. B. C. D. 【 2 22 2| | ( ) 2aa b ab ba b+ = + = + ⋅ +      2 2| | 2 | || | cos , | |a a b a b b= + < > +      cos , [ 1,1]a b< >∈ −  0 , 180 cos , [ 1,1]o oa b a b≤< >≤ ∴ < >∈ −    2 22 2| | ( ) 2aa b ab ba b+ = + = + ⋅ +      2 2| | 2 | || | cos , | | 9 24 16 1a a b a b b= + < > + ≥ − + =      | | 1a b+ ≥  2 sin1 2sin1 sin 2 1 sin1 R 1 sin1R = 22 sin1R = (0,1), (3,2)A B ( 4, 3)AC = − − BC = ( 7, 4)− − (7,4) ( 1,4)− (1,4) - 3 - 【答案】A 【解析】 试题分析： ,选 A. 考点：向量运算 6.下面各组角中，终边相同的是（ ） A. 390 ，690 B. ，750 C. 480 ， D. 3000 ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据终边相同的角相差 的整数倍可依次判断各个选项得到结果. 【详解】 ， 与 终边不同， 错误 ， 与 终边相同， 正确 ， 与 终边不同， 错误 ， 与 终边不同， 错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查终边相同的角的判定，属于基础题. 7.向量 与 不共线， ， ，且 与 共线，则 k，l 应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 与 共线，故 ，代入可得 ，列出等式方程组，即得 解. ( 3 1) ( 4 3) ( 7 4)BC BA AC= + = − − + − − = − −   ， ， ， ° ° 330− ° ° ° 420− ° ° 840− ° 360 390 360 30= +   690 720 30= −   ∴ 390 690 A 330 360 30− = − +   750 720 30= +   ∴ 330−  750 B 480 360 120= +   420 360 60− = − −   ∴ 480 420−  C 3000 2880 120= +   840 720 120− = − −   ∴ 3000 840−  D B a b AB a kb= +   ( ),AC la b k l= + ∈ R   AB AC 0k l+ = 0k l− = 1 0kl + = 1 0kl − = AB AC AB ACλ=  ( )a kb la bλ+ = +    - 4 - 【详解】由 与 共线，故 即 故 ，可得 故选：D 【点睛】本题考查了向量共线基本定理，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 8.设 α 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α＝ x，则 tan α＝（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ，可求得 的值，利用正切函数的定义即可得到结果. 【详解】 , 因为 是第二象限角, , ,解得 , 又 是第二象限角, , ，故选 A. 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属 于基础题. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分． 9.设 P 是 所在平面内的一点， 则（ ） A. B. C. D. AB AC AB ACλ=  ( )a kb la bλ+ = +    1 l k λ λ =  = 1 0kl − = 1 5 4 3 − 3 4 4 3 3 4 − 2 2 1cos 54 x x x α = = + x 2 2 1cos 54 x x x α = = + α 0x∴ ≠ 2 16 5x∴ + = 3x = ± α 3x∴ = − 4 4tan 3 3 α∴ = = −− ABC 3AB AC AP+ =   0PA PB+ =   0PB PC+ =   PA AB PB+ =   0PA PB PC+ + =    - 5 - 【答案】CD 【解析】 【分析】 转化 为 ，移项运算即得解 【详解】由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属 于基础题. 10.下列化简正确 是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用诱导公式，及 ，依次分析即得解 详解】利用诱导公式，及 A 选项： ，故 A 正确； B 选项： ，故 B 正确； C 选项： ，故 C 不正确； 的 【 3AB AC AP+ =   ( ) )(AB AP AC AP AP+ =− −     3AB AC AP+ =   ( ) )(AB AP AC AP AP+ =− −     PB PC AP+ =   0CPA PB P++ =∴    PA AB PB+ =   ( )tan π 1 tan1+ = ( ) ( ) sin cos tan 360 α α α − = − ( ) ( ) sin π tancos π α αα − =+ ( ) ( ) ( ) cos π tan π 1sin 2π α α α − − − =− sintan cos αα α= sintan cos αα α= tan( 1) tan1π + = sin( ) sin sin cossintan(360 ) tan cos o α α α ααα α α − −= = =− − sin( ) sin tancos( ) cos π α α απ α α − = = −+ − - 6 - D 选项： ，故 D 不正确 故选：AB 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归， 数学运算能力，属于基础题. 11.已知向量 ， ， ，若点 A，B，C 能构成三角形， 则实数 t 可以为（ ） A. -2 B. C. 1 D. -1 【答案】ABD 【解析】 【分析】 若点 A，B，C 能构成三角形，故 A，B，C 三点不共线，即向量 不共线，计算两个向 量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】若点 A，B，C 能构成三角形，故 A，B，C 三点不共线，则向量 不共线， 由于向量 ， ， ， 故 ， 若 A，B，C 三点不共线，则 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力， 属于中档题. 12.将函数 的图像 F 向左平移 个单位长度后得到图像 ，若 的一个对称中 心为 ，则 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 sincoscos( ) tan( ) cos ( tan ) cos 1sin(2 ) sin sin ααπ α π α α α α π α α α ⋅− − − − ⋅ −= = − = −− − ( )1, 3OA = − ( )2,1OB = − ( )3, 8OC t t= + − 1 2 ,AB BC  ,AB BC  ( )1, 3OA = − ( )2,1OB = − ( )3, 8OC t t= + − ( 3,4)AB OB OA= − = −   ( 5, 9)BC OC OB t t= − = + −   3( 9) 4( 5) 0 1t t t− − − + ≠ ∴ ≠ ( )siny x ϕ= + π 6 F′ F′ π ,04      ϕ π 12 5π 12 − 5π 6 7π 12 - 7 - 由平移变换得到图像 的解析式，由 的一个对称中心为 ，得到 ， 即得解 【详解】由题意函数 向左平移 个单位长度后为 ， 若 的一个对称中心为 ， 故 即 故选：BD 【点睛】本题考查了三角函数图像变换和三角函数的对称中心，考查了学生综合分析，转化 划归，数学运算能力，属于中档题. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知 ， ，实数 x，y 满足等式 ，则 ________． 【答案】1 【解析】 【分析】 先由 ， ，计算 的坐标，再由 ，计算 x,y，即得解 【详解】由于 ， ， 故 故 则 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量线性运算的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于 基础题. 14.化简： ________． F′ F′ π ,04      5 ,12k k Z πϕ π= − ∈ ( )siny x ϕ= + π 6 sin( )6y x π ϕ= + + F′ π ,04      sin( ) 04 6 4 6 k π π π πϕ ϕ π+ + = ∴ + + = 5 ,12k k Z πϕ π= − ∈ ( )1,2a = ( )2,3b = ( )3,4xa yb+ =  x y+ = ( )1,2a = ( )2,3b = xa yb+  ( )3,4xa yb+ = ( )1,2a = ( )2,3b = xa yb+  ( 2 ,2 3 ) (3,4)x y x y= + + = 2 3 1, 22 3 4 x y x yx y + = ∴ = − = + = 1x y+ = ( ) 3πsin 7π cos 2 α α − − ⋅ − =   - 8 - 【答案】 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简，即得解 【详解】由诱导公式： 故答案为： 【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 15.如图所示，把一个物体放在倾斜角为 30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作 用，即重力 G，沿着斜面向上的摩擦力 ，垂直斜面向上的弹力 ．已知 ，则 G 的大小为________， 的大小为________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由向量分解的平行四边形法则，可得 ，即得解. 【详解】 如图，由向量分解的平行四边形法则， 2sin α− ( ) 3πsin 7π cos 2 α α − − ⋅ −   2sin ( sin ) sinα α α= ⋅ − = − 2sin α− 1F 2F 1 80NF = 2F 160N 80 3N 1 2| | | |sin30 , cos30| | | | o oF F G G = = 1 2| | | |sin30 , cos30| | | | o oF F G G = = - 9 - 计算可得： 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则在力的分解中的应用，考查了学生数学应用，综 合分析，数学运算能力，属于基础题. 16.若一个函数同时具有：（1）最小正周期为 ，（2）图像关于直线 对称．请列举一个 满足以上两条件的函数________（答案不唯一，列举一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意（1） ；（2） 取最大值或最小值，分析即得解. 【详解】由题意（1） ；（2） 取最大值或最小值 故满足条件的一个函数可以为： （不唯一） 故答案为： （不唯一） 【点睛】本题考查了由三角函数的性质确定解析式，考查了学生综合分析，转化划归，数学 运算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 17.已知 cos（ θ） ，求 的值 【答案】8 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简求解. 2160 , 80 3G N F N= = 160 ,80 3N N π π 3x = πsin 2 6y x = −   2T w π π= = ( )3f π 2T w π π= = ( )3f π πsin 2 6y x = −   πsin 2 6y x = −   2 π + 1 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 31 cos cos cos cos coscos cos π θ θ π θ π π θ θθ π θ + −+ + + + − + −  - 10 - 详解】∵cos（ θ）＝﹣sinθ ， ∴sinθ ， ， = ， 8. 【点睛】本题主要考查了诱导公式和基本关系化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中 档题. 18.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 ， ， ，且 A，B，C，D 按逆时 针方向排列，求： （1）AB，BC； （2）C 点的坐标． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由两点间距离公式，及平行四边形对边相等 性质，即得解； （2）利用 ，即 ，即得解 【详解】（1）由两点距离公式得 ． 又因为 ， 所以 ． （2）由题意知， ，所以 ， 因此， ， 从而 ． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能 【 的 2 π + 1 2 = 1 2 = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 3 cos 4 cos 2 cos 3 cos1cos cos π θ θ π θ π π θ θθ π θ + −∴ + + + + − + −  [ ] ( )1 cos cos cos cos cos cos cos θ θ θ θ θ θ θ − +− − − + 2 2 1 1 2 2 11 1 ( )2 cos cos sinθ θ θ= + = = =+ − − ( )2,1A − ( )2,2B ( )1,3D − 17AB = 5BC = ( )3,4C AB DC=  OB OA OC OD− = −    ( ) ( )2 22 2 2 1 17AB  = − − + − =  BC AD= ( ) ( )2 22 1 3 1 5BC AD  = = − − − + − =  AB DC=  OB OA OC OD− = −    ( ) ( ) ( ) ( )1,3 2,2 2,1 3,4OC OD OB OA= + − = − + − − =    ( )3,4C - 11 - 力，属于基础题. 19.设函数 ，其中 ．若 ． （1）求 ； （2）将函数 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的 图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，求 在 上的最小值． 【答案】（1）2；（2） . 【解析】 【分析】 （1）代入 ，结合 ，即得解； （2）由平移变换，得到 ，又 ，结合正弦函数性质 即得解. 【详解】（1）因为 ，且 ， 所以 ， ． 故 ， ．又 ，所以 ． （2）由（1）得 ， 所以 ． 因为 ，所以 ， 当 ，即 时， 取得最小值 ． 【点睛】本题考查了正弦函数的图像变换及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运 算能力，属于中档题. ( ) π3sin 3f x xω = −   0 3ω< < π 06f   =   ω ( )y f x= π 4 ( )y g x= ( )g x π 3π,4 4  −   3 2 − π 06f   =   0 3ω< < ( ) π3sin 12g x x = −   π π 2π,12 3 3x  − ∈ −   ( ) π3sin 3f x xω = −   π 06f   =   π π π6 3 k ω − = Zk ∈ 6 2kω = + Zk ∈ 0 3ω< < 2ω = ( ) π3sin 2 3f x x = −   ( ) π π π3sin 3sin4 3 12g x x x   = + − = −       π 3π,4 4x  ∈ −   π π 2π,12 3 3x  − ∈ −   π π 12 3x − = − π 4x = − ( )g x 3 2 − - 12 - 20.如图，在平面直角坐标系中， ， ， ． （1）求点 B，C 的坐标； （2）求证：四边形 OABC 为等腰梯形． 【答案】（1） ， ；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求解 B 点坐标，再利用 ，即得解； （2）利用 坐标，可得 ，分析即得解 【详解】（1）设 ，则 ， ， ∴ ， ∴ ， ． （2）证明：连接 OC．∵ ， ， ∴ ，∴ ． 又 ， ， ∴四边形 OABC 为等腰梯形． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能 力，属于中档题. 2 2OA AB= =  2π 3OAB∠ = ( )1, 3BC = − 5 3,2 2B       3 3 3,2 2C       OC OB BC= +   OC AB ， 3OC AB=  ( ),B BB x y ( ) 5cos π 2Bx OA AB OAB= + ⋅ − ∠ =  ( ) 3sin π 2By AB OAB= ⋅ − ∠ = ( )5 3 3 3 3, 1, 3 ,2 2 2 2OC OB BC    = + = + − =             5 3,2 2B       3 3 3,2 2C       3 3 3,2 2OC  =      1 3,2 2AB  =      3OC AB=  //OC AB  OC AB≠  2OA BC= =  - 13 - 21.如图，函数 ， 其中 的图象与 y 轴交于点 ． （1）求 的值； （2）求函数 的单调递增区间； （3）求使 的 x 的集合． 【答案】（1） ,（2） ， ,（3） 【解析】 【分析】 （1）由函数图像过定点，代入运算即可得解； （2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可； （3）由 ，求解不等式 即可得解. 【详解】解：（1）因为函数图象过点 ， 所以 ，即 ．因为 ，所以 ． （2）由（1）得 ， 所以当 ， ， 即 ， 时， 是增函数，故 的单调递增区间为 ， ． （3）由 ，得 ， 2sin( )y xπ ϕ= + x∈R 0 2 πϕ≤ ≤ (0,1) ϕ 2sin( )y= xπ ϕ+ 1y ≥ 6 π 2 2 12 23 3k k − + +   k ∈Z 2| 2 2 ,3x k x k k ≤ ≤ + ≡  Z 1y ≥ 1sin 6 2x ππ + ≥   (0,1) 2sin 1=ϕ 1sin 2 ϕ = 0 2 πϕ≤ ≤ 6 π=ϕ 2sin 6y x ππ = +   2 22 6 2k x k π π ππ π π− + ≤ + ≤ + k Z∈ 2 12 23 3k x k− + ≤ ≤ + k Z∈ 2sin 6y x ππ = +   2sin 6y x ππ = +   2 12 , 23 3k k − + +   k Z∈ 1y ≥ 1sin 6 2x ππ + ≥   - 14 - 所以 ， ， 即 ， ， 所以 时，x 的集合为 ． 【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的 求法及解三角不等式，属基础题. 22.如图所示，在 中， ， ，AD 与 BC 相交于点 M．设 ， ． （1）试用向量 ， 表示 ； （2）在线段 AC 上取点 E，在线段 BD 上取点 F，使 EF 过点 M．设 ， ， 其中 ．当 EF 与 AD 重合时， ， ，此时 ；当 EF 与 BC 重合时， ， ，此时 ；能否由此得出一般结论：不论 E，F 在线段 AC，BD 上如何 变动，等式 恒成立，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）能得出结论，理由详见解析. 【解析】 【分析】 （ 1 ） 设 ， ， 可 得 ， ，联立可解得 ， ； 52 26 6 6k x k π π ππ π π+ ≤ + ≤ + k Z∈ 22 23k x k≤ ≤ + k Z∈ 1y ≥ 2| 2 2 ,3x k x k k Z ≤ ≤ + ∈   ABO 1= 3OC OA  1 2OD OB=  OA a=  OB b=  a b OM OE OAλ=  OF OBµ=  , Rλ µ ∈ 1λ = 1 2 µ = 1 2+ 5λ µ = 1 3 λ = 1µ = 1 2 5λ µ+ = 1 2 5λ µ+ = 1 2 5 5OM a b= +   AM MDα=  CM MBβ=  ( ) 1 1 2 1OM a b α α α= ++ +   ( ) 1 3 1 1OM a b β β β= ++ +   1 5m = 2 5n = - 15 - （2）设 ，可得 ，又 ， ，故 ，即 ，即得解 【详解】（1）设 ，由 A，D，B 三点共线， 可知存在 （ ，且 ）使得 ， 则 ，又 ， 所以 ， ∴ ，即 ①， 由 B，C，M 三点共线， 可知存在 （ ，且 ）使得 ， 则 ，又 ， 所以 ， ∴ 即 ② 由①②得 ， ，故 ． （2）能得出结论． 理由：由于 E，M，F 三点共线， 则存在实数 （ ，且 ），使得 ， 于是 ， EM MFγ=  1 OE OFOM γ γ += +   OE OAλ=  OF OBµ=  1 1OM a b λ µγ γ γ= ++ +   1 2 5 5 1 1a b a b λ µγ γ γ+ = ++ +    ( )R, ROM ma nb m n= + ∈ ∈  α Rα ∈ 1a ≠ − AM MDα=  ( )OM OA OD OMα− = −    1 2OD OB=  ( ) 1 1 2 1OM a b α α α= ++ +   ( ) 1 1 2 1 m n α α α  = +  = + 2 1m n+ = β Rβ ∈ 1β ≠ − CM MBβ=  ( )OM OC OB OMβ− = −    1 3OC OA=  ( ) 1 3 1 1OM a b β β β= ++ +   ( ) 1 4 1 1 m n β β β  = +  = + 3 1m n+ = 1 5m = 2 5n = 1 2 5 5OM a b= +  γ Rγ ∈ 1γ ≠ − EM MFγ=  1 OE OFOM γ γ += +   - 16 - 又 ， ， 所以 ， 所以 ， 从而 ，所以消去 得 ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算综合问题，考查了向量共线基本定理的应用，考查了学 生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题. OE OAγ=  OF OBµ=  1 1 1 OA OBOM a b γ µγ λ µγ γ γ γ += = ++ + +    1 2 5 5 1 1a b a b λ µγ γ γ+ = ++ +    1 5 1 2 5 1 λ γ µγ γ  = +  = + γ 1 2 5λ µ+ =