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- 2024-03-31 发布
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舒城中学 2017-2018 学年度第一学期第三次统考试卷
高二理数
(时间 120 分钟 满分 150 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.设 ,则“ ”是“ ”的
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设命题 : ,则 为 ( )
A. B.
C. D.
3.双曲线 的渐近线的方程是 ( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是 ( )
A.若 且 为假命题,则 , 均为假命题
B.“ ”是“ ”的必要不充分条件
C.若 ,则方程 无实数根
D.命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题
5.如果方程 表示椭圆,则 的取值范围是
( )
A. 且 B.
C. D.
6.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是
( )
x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − >
p 2, 2nn N n∃ ∈ > p¬
2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤
2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, =2nn N n∃ ∈
2 216 9 144x y− = −
16
9y x= ± 16
9x y= ± 4
3y x= ± 4
3x y= ±
p q p q
2x > 2 3 2 0x x- + >
1m < 2 2 0x x m- + =
x y= sin sinx y=
134
22
=−+− m
y
m
x m
)4,3( 2
7≠m ),4()3,( +∞−∞
),4( +∞ )3,(−∞
,l m ,α β
A.若 ; B.若 ;
C.若 ; D.若 ;
7.如图,在长方体 中, ,则 与平面 所
成角的正弦值为
( )
A. B. C. D.
8.抛物线 上有 三点, 是它的焦点,若
成等差数列,则 ( )
A. 成等差数列 B. 成等差数列
C. 成等差数列 D. 成等差数列
9.已知 是抛物线 的焦点, 是该抛物线上的动点,则线段 中点的轨迹方程是
( )
A B. C. D.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面 的面积为
( )
A. B. C. D.3
11. 已知椭圆 与双曲线 有
公共的焦点, 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于
两点.若 恰好将线段 三等分,则 ( )
A. B. C. D.
12.抛物线 的准线与双曲线 的左、右支分别交于 两点,
为双曲线的右顶点, 为坐标原点,若 ,则双曲线的离心率为
1 1 1 1ABCD A B C D- 12, 1AB BC AA= = = 1BC 1 1BB D D
2 5
5
15
5
10
5
// , // , //m l m lα α则 , , / /m l m lα α⊥ ⊥ 则
/ / , , / / ,l m l mα β α β⊥ ⊥则 , / / , , / / , / /m m l lα β β α α β⊂ ⊂ 则
6
3
)0(22 >= ppxy ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC F
|||,||,| CFBFAF
321 ,, xxx 231 ,, xxx
321 ,, yyy 231 ,, yyy
F 21
4y x= P PF
2 2 1x y= − 2 12 16x y= − 2 1
2x y= − 2 2 2x y= −
2
2
5
2
6
2
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2
2
2 : 14
yC x − =
2C 1C
,A B 1C AB
2 13
2a = 2 13a = 2 1
2b = 2 2b =
2 6x by= −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > ,B C
A O AOC BOC∠ = ∠
舒中高二统考理数 第 1 页(共 4 页) 舒中高二统考理数 第 2 页(共 4 页)
B
( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13.若抛物线 上的点 到 轴的距离是 ,则 到焦点的距离为 .
14.过点 作一直线与椭圆 相交于 A、B 两点,若 点恰好为弦 的中点,
则 所在直线的方程为 .
15.边长为 2 的正方形 中,点 分别是 的中点,将 ,
分别沿 折起,使得 三点重合于点 ,若四面体 的四个顶
点在同一个球面上,则该球的表面积为
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 作一条直线(不与 轴垂
直)与椭圆交于 两点,如果 恰好为等腰直角三角形,则该直线的斜率为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 10 分)
已 知 且 。 设 : 函 数 在 区 间 内 单 调 递 减 ; : 曲 线
与 轴交于不同的两点,如果“ ”为真命题,“ ”为假命
题 ,求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分)
如 图 , 在 四 棱 锥 中 , 底 面 ,
, ,点 为棱 的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
ABCD E F、 AB BC、
'A EFD
2 3
3 3 4 3
3 2 3
xy 42 = M y 9 M
(1,1)M
2 2
19 4
x y+ = M AB
AB
, ,ADE EBF FCD∆ ∆ ∆
, ,DE EF FD A B C、 、 'A
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F ⋅ 2F x
,A B 1ABF∆
0>a 1≠a p )1(log += xy a ),0( +∞ q
1)32(2 +−+= xaxy x qp ∨ qp ∧
a
P ABCD− PA ⊥ ABCD , / / ,AD AB AB DC⊥
2AD DC AP= = = 1AB = E PC
BE DC⊥
E AB P− −
19. (本小题满分 12 分)
如图,四边形 中, , , , 分别在
上 , . 现 将 四 边 形 沿 折 起 , 使 得 平 面 ⊥ 平 面
.
(Ⅰ)当 ,是否在折叠后的 上存在一点 ,使得 平面 ?若存在,
求出 点位置,若不存在,说明理由;
(Ⅱ)设 ,问当 为何值时,三棱锥
的体积有最大值?并求出这个最大
值.
20. (本小题满分 12 分)
已知双曲线 : ( )的离心率为 ,虚轴长为 .
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)过点 ,倾斜角为 的直线 与双曲线 相交于 两点, 为坐标原点,求
的面积.
21(本小题满分 12 分)
已知椭圆 : 的右焦点为 ,且点 在椭圆 上.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)已知动直线 过点 ,且与椭圆 交于 , 两点.试问 轴上是否存在定点 ,使
得 恒成立?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
ABCD AB AD⊥ / /AD BC 6, 4, 2AD BC AB= = = ,E F
,BC AD / /EF AB ABEF EF ABEF
EFDC
1BE = AD P / /CP ABEF
P
BE x= x
A CDF−
C 12
2
2
2
=−
b
y
a
x 0,0 >> ba 5 4
( )0,1 045 l C ,A B O
OAB∆
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (1,0)F 2( 1, )2
− C
C
l F C A B x Q
7
16QA QB⋅ = − Q
舒中高二统考理数 第 4 页(共 4 页)
22. (本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 中,已知 , 点在直线 上, 点满足 ∥ ,
= , 点的轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ) 为 上的动点, 为 在 点处的切线,求 点到 距离的最小值.
xOy (0, 1)A − B 3y = − M MB OA
MA AB
MB BA
M C
C
P C l C P O l
舒城中学 2017-2018 学年高二第三次统考试卷
数 学
(时间 120 分钟 满分 150 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.设 ,则“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设命题 : ,则 为( )
A. B.
C. D.
3.双曲线 的渐近线的方程是
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A.若 且 为假命题,则 , 均为假命题
B.“ ”是“ ”的必要不充分条件
C.若 ,则方程 无实数根
D.命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题
5.如果方程 表示椭圆,则 的取值范围是( )
A. 且 B. C. D.
6.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是( )
A.若 ; B.若 ;
C.若 ; D.若 ;
x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − >
p 2, 2nn N n∃ ∈ > p¬
2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤
2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, =2nn N n∃ ∈
2 216 9 144x y− = −
16
9y x= ± 16
9x y= ± 4
3y x= ± 4
3x y= ±
p q p q
2x > 2 3 2 0x x- + >
1m < 2 2 0x x m- + =
x y= sin sinx y=
134
22
=−+− m
y
m
x m
)4,3( 2
7≠m ),4()3,( +∞−∞ ),4( +∞ )3,(−∞
,l m ,α β
// , // , //m l m lα α则 , , / /m l m lα α⊥ ⊥ 则
/ / , , / / ,l m l mα β α β⊥ ⊥则 , / / , , / / , / /m m l lα β β α α β⊂ ⊂ 则
7.如图,在长方体 中, ,则 与平面 所
成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.抛物线 上有 三点, 是它的焦点,若
成等差数列,则 ( )
A. 成等差数列 B. 成等差数列
C. 成等差数列 D. 成等差数列
9.已知 是抛物线 的焦点, 是该抛物线上的动点,则线段 中点的轨迹方程是( )
A. B. C.
D.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积
为( )
A. B. C. D.3
11.已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点, 的一条
渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点.若 恰好将线段 三等分,则( )
A. B. C. D.
12.抛物线 的准线与双曲线 的左、右支分别交于 两点,
为双曲线的右顶点, 为坐标原点,若 ,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13.若抛物线 上的点 到 轴的距离是 ,则 到焦点的距离为 .
1 1 1 1ABCD A B C D- 12, 1AB BC AA= = = 1BC 1 1BB D D
2 5
5
15
5
10
5
6
3
)0(22 >= ppxy ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC F
|||,||,| CFBFAF
321 ,, xxx 231 ,, xxx
321 ,, yyy 231 ,, yyy
F 21
4y x= P PF
2 2 1x y= − 2 12 16x y= − 2 1
2x y= −
2 2 2x y= −
2
2
5
2
6
2
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2
2
2 : 14
yC x − = 2C
1C ,A B 1C AB
2 13
2a = 2 13a = 2 1
2b = 2 2b =
2 6x by= −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > ,B C
A O AOC BOC∠ = ∠
2 3
3 3 4 3
3 2 3
xy 42 = M y 9 M
14.过点 作一直线与椭圆 相交于 A、B 两点,若 点恰好为弦 的中点,
则 所在直线的方程为 .
15.边长为 2 的正方形 中,点 分别是 的中点,将 ,
分别沿 折起,使得 三点重合于点 ,若四面体 的四
个顶点在同一个球面上,则该球的表面积为
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 作一条直线(不
与 轴垂直)与椭圆交于 两点,如果 恰好为等腰直角三角形,该直线的
斜率为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 10 分)
已 知 且 。 设 : 函 数 在 区 间 内 单 调 递 减 ; : 曲 线
与 轴交于不同的两点,如果“ ”为真命题,“ ”为假命
题 ,求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 中, 底面 ,
, ,点 为棱 的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
19. (本小题满分 12 分)
ABCD E F、 AB BC、 ,ADE EBFD D
'A EFD
(1,1)M
2 2
19 4
x y+ = M AB
AB
,FCDD , ,DE EF FD A B C、 、 'A
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F ⋅ 2F
x ,A B 1ABF∆
0>a 1≠a p )1(log += xy a ),0( +∞ q
1)32(2 +−+= xaxy x qp ∨ qp ∧
a
P ABCD− PA ⊥ ABCD , / / ,AD AB AB DC⊥
2AD DC AP= = = 1AB = E PC
BE DC⊥
E AB P− −
如图,四边形 中, , , , 分别在
上 , . 现 将 四 边 形 沿 折 起 , 使 得 平 面 ⊥ 平 面
.
(Ⅰ)当 ,是否在折叠后的 上存在一点 ,使得 平面 ?若存在,
求出 点位置,若不存在,说明理由;
(Ⅱ)设 ,问当 为何值时,三棱锥 的体积有最大值?并求出这个最大
值.
20. (本小题满分 12 分)
已知双曲线 : ( )的离心率为 ,虚轴长为 .
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)过点 ,倾斜角为 的直线 与双曲线 相交于 两点, 为坐标原点,求
的面积.
21(本小题满分 12 分)
已知椭圆 : 的右焦点为 ,且点 在椭圆 上.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)已知动直线 过点 ,且与椭圆 交于 , 两点.试问 轴上是否存在定点 ,使
得 恒成立?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
22. (本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 中,已知 , 点在直线 上, 点满足 ∥ ,
= , 点的轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ) 为 上的动点, 为 在 点处的切线,求 点到 距离的最小值.
ABCD AB AD⊥ / /AD BC 6, 4, 2AD BC AB= = = ,E F
,BC AD / /EF AB ABEF EF ABEF
EFDC
1BE = AD P / /CP ABEF
P
BE x= x A CDF−
C 12
2
2
2
=−
b
y
a
x 0,0 >> ba 5 4
( )0,1 045 l C ,A B O
OAB∆
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (1,0)F 2( 1, )2
− C
C
l F C A B x Q
7
16QA QB⋅ = − Q
xOy (0, 1)A − B 3y = − M MB OA
MA AB
MB BA
M C
C
P C l C P O l
舒城中学 2017-2018 学年高二第三次统考试卷
数学答案
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
ACCDA CDAAB CC
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13. 10 14. 15. 16.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本题 10 分)
18. (本题 12 分)(Ⅰ)略;(Ⅱ) .
19. (本题 12 分)解:
(Ⅰ)若存在 P,使得 CP∥平面 ABEF,此时 λ= :
证明:当 λ= ,此时 = ,
过 P 作 MP∥FD,与 AF 交 M,则 = ,
又 FD=5,故 MP=3,
因为 EC=3,MP∥FD∥EC,
所以 MP∥EC,且 MP=EC,故四边形 MPCE 为平行四边形,
所以 PC∥ME,
因为 CP 平面 ABEF,ME⊂平面 ABEF,
故答案为:CP∥平面 ABEF 成立.
(Ⅱ)因为平面 ABEF⊥平面 EFDC,ABEF∩平面 EFDC=EF,AF⊥EF,
所以 AF⊥平面 EFDC,
因为 BE=x,所以 AF=x,(0<x<4),FD=6﹣x,
故三棱锥 A﹣CDF 的体积 V= × ×2×(6-x)x=﹣ (x-3)2+3,
所以 x=3 时,三棱锥 A﹣CDF 的体积 V 有最大值,最大值为 3.
20.(本题 12 分)(Ⅰ) ; (Ⅱ) .
013-94 =+ yx 6p 2±
+∞∪
,2
51,2
1
2
2
2
3
2
3
AD
AP
5
3
FD
MP
5
3
⊄
3
1
2
1
3
1
2
2 14
yx − = 4
3OABS∆ =
21. (本题 12 分)
22.(本题 12 分)
(Ⅰ)设 ( , ),由已知得 ( ,-3), (0,—1),
∴ =( , ), =(0, ), =( ,-2),
由题意可知 =0,即 =0,化简整理得 ,
∴曲线 的方程为 ;
(Ⅱ)设 ( , )为曲线 : 上一点,∴ 的斜率为 , ∴直线 的方程为
= ,即
∴ 点到 的距离 = = = ≥2,
M x y B x A
MA x− 1 y− − MB 3 y− − AB x
( )MA MB AB+
( , 4 2 ) ( , 2)x y x− − − − 21 24y x= −
C 21 24y x= −
P 0x 0y C 21 24y x= − l 0
1
2 x l
0y y− 0 0
1 ( )2 x x x− 2
0 0 02 2 0x x y y x− + − =
O l d
2
0 0
2
0
| 2 |
4
y x
x
−
+
2
0
2
0
1 42
4
x
x
+
+
2
0 2
0
1 4( 4 )2 4
x
x
+ +
+