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- 2024-03-31 发布
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东台创新高级中学2018-2019学年度第二学期
2017级数学5月份检测试卷（理科）
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案填写在答题纸的指定位置上．）
1. 已知，，则 =
2．函数的定义域是__________．
3.已知角510°的终边经过点，则实数a的值是 ▲ .
4.已知f(x)＝(2＋)n，其中n∈N*.若展开式中含x3项的系数为14，求n的值
5．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．
6.用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________.
7.已知矩阵A＝. ,若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,1)，
求点P的坐标.
8.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是______________．
9.求以C(4,0)为圆心，半径为4的圆的极坐标方程:
10.从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为 ▲ ．
11.在极坐标系中，点到曲线ρcos θ－ρsin θ－1＝0上的点的最小距离等于
12.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).
13.在的展开式中，含x2项的系数为( )
14.已知正数满足，则的最小值是 ▲ ．
二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15.（本题14分）
已知变换T把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T对应的矩阵M
16. （本题14分）
17.（本题14分）
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
18.（本小题满分16分）
袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球．
(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
19.（本小题满分16分）
已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[]
20.（本小题满分16分）
证明：对一切正整数n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除．
高二数学5月份月考答案(理科)
一、 填空题
1. ． 2. 3. 1 4．7
5. 36 6. 100 7．(3，－1). 8. 10 9. ρ＝8cos θ
10. 11. 12. (1)当不含偶数时，有A＝120(个)，
当含有一个偶数时，有CCA＝960(个)，
所以这样的四位数共有1 080个.
13. 45
14． 2【解析】设，，则．
因为
（当且仅当时取“”），所以，解得，所以的最小值是2．
二、 解答题
15．：【解析】设M＝，
由题意得， ＝，
∴解得
即M＝.
16.解： 将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3，
17,解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
由ρ2－2ρcos＝2，
得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2，
x2＋y2－2(x＋y)＝2，
故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)联立方程两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y－1＝0，
该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.
18.解：(1)两个球颜色不同的情况共有C·42＝96(种)．
(2)随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的概率分布列为
X
0[]
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
19.解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx
＝Ckx.
因为第6项为常数项，
所以k＝5时，＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C2＝.
(3)根据通项公式，由题意
令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数，
∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C2x2，C5，C8x－2.
∴展开式中所有的有理项为x2，－，.
20,证明：(1)当n＝1时，原式等于8，能被8整除；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即5k＋2·3k－1＋1能被8整除．[
设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，
当n＝k＋1时，
5k＋1＋2·3k＋1
＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4
＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)，
而当k≥1，k∈N*时，3k－1＋1显然为偶数，设为2t，t∈N*，
故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，也能被8整除，
故当n＝k＋1时结论也成立；
由(1)(2)可知，对一切正整数n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除．
