2012年南京玄武区初三一模数学试卷及参考答案 11页

‎2011—2012第二学期初三调研测试卷 数 学 注意事项：‎ 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卷上，答在本试卷上无效．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卷相应位置上）‎ ‎1．3的相反数是 A．3 B．－3 C． D．－ ‎2．下列计算正确的是 ‎ A．3x2·4x2＝12x2 B．x3·x5＝x15 C．x4÷x＝x3 D．(x5)2＝x7‎ ‎3．本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，由此可知 ‎ A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定 ‎4．点M（－3，2）关于轴对称的点的坐标是 ‎ A．（－3，－2） B．（－3，2） C．（3，－2） D．（3，2）‎ ‎5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 A． B．2 C．3 D．2 A B D C E F ‎（第6题）‎ A P M N ‎（第5题）‎ Q O ‎6．从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E、F分别是AB、DC的中点．若AD＝8，AB＝6，则这个正六棱柱的侧面积为 A．48 B．96 C．144 D．96 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20‎ 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）‎ ‎7．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ▲ ．‎ ‎8．如图，若将木条a绕点O旋转后与木条b平行，则旋转角的最小值为 ▲ °．‎ ‎9．如图，∠1＝∠2，添加一个条件 ▲ 使得△ADE∽△ACB．‎ ‎10．若两圆半径分别为3和5，且圆心距为8，则两圆位置关系为 ▲ ． ‎ ‎11．在比例尺为1：20000的地图上，测得某水渠长度约为6cm，其实际长度约为 ▲ m（结果用科学记数法表示）．‎ ‎12．如果一个角的度数为31°42'，那么它的补角的度数为 ▲ °．‎ O a b ‎80°‎ ‎65°‎ ‎（第8题）‎ B ‎（第13题）‎ O A ‎（第9题）‎ ‎1‎ ‎2‎ A D E C B ‎13．在半径为500cm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800cm，则油的最大深度为 ▲ cm．‎ ‎14．若m2－5m＋2＝0，则2m2－10m＋2012＝ ▲ ．‎ ‎15．将面积为48π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ▲ （结果保留根号）．‎ ‎16．根据数据变化规律，填写m所对应的值．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ m ‎…‎ ‎144‎ ‎72‎ ‎48‎ ‎36‎ ‎…‎ ‎ ▲ ‎ ‎…‎ 三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算＋＋2－sin30°．‎ ‎18．（6分）先化简(－ )÷，然后选取一个恰当的数值代入求值．‎ ‎19．（6分）解不等式组并写出它的正整数解．‎ ‎20．（8分）课外兴趣小组为了解某段路上机动车的车速，抽查了一段时间内若干辆车的车速（车速取整数，单位：千米/时）并制成如图所示的频数分布直方图．已知车速在41‎ 千米/时到50千米/时的车辆数占车辆总数的．‎ ‎（1）在这段时间中他们抽查的车有 ▲ 辆；‎ ‎（2）被抽查车辆的车速的中位数所在速度段（单位：千米/时）是（ ▲ ）‎ A．30.5~40.5 B．40.5~50.5 C．50.5~60.5 D．60.5~70.5‎ ‎（3）补全频数分布直方图，并在图中画出频数折线图；‎ 车辆数 车速(千米/时)‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎20.5‎ ‎30.5‎ ‎40.5‎ ‎50.5‎ ‎60.5‎ ‎70.5‎ ‎80.5‎ ‎（第20题）‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎0‎ ‎（4）如果全天超速（车速大于60千米/时）的车有240辆，则当天的车流量约为多少辆？‎ ‎21．（7分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD、BC的中点，E，F分别是BM、CM的中点．‎ M A C F D B E N ‎（第21题）‎ ‎（1）求证：△AMB≌△DMC；‎ ‎（2）四边形MENF是怎样的特殊四边形？证明你的结论．‎ ‎22．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？‎ ‎23．（7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ A B ‎5‎ ‎7‎ ‎（第23题）‎ ‎（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；‎ ‎（2）计算点P在函数y＝图象上的概率．‎ ‎24．（7分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．‎ E A B C D F ‎50°‎ ‎45°‎ ‎（第24题）‎ ‎（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．‎ ‎25．（9分）已知二次函数y＝－x2＋(m－1)x＋m．‎ ‎（1）证明：不论m取何值，该函数图像与x轴总有公共点；‎ ‎（2）若该函数的图像与y轴交于点(0，3)，求出顶点坐标并画出该函数图像；‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ O x ‎5‎ ‎5‎ y ‎－1‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎－5‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎－5‎ ‎（第25题）‎ ‎（3）在（2）的条件下，观察图像，写出当y＜0时x的取值范围．‎ ‎26．（8分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，‎ 从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为(2，0)．‎ ‎（1）A点所表示的实际意义是 ▲ ；＝ ▲ ；‎ ‎（2）求出AB所在直线的函数关系式；‎ x/min y/m ‎ ‎ O ‎（第26题）‎ B A ‎480‎ M ‎（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？ ‎ ‎27．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB＝∠ACB．‎ ‎（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由； ‎ ‎（2）若∠DAB＝30°，AB＝1，求弦AB所对的弧长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为，若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．‎ O B D A C ‎（备用图）‎ O B D A C ‎（第27题）‎ ‎28．（10分）在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次 数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．‎ A B C D O ‎（图1－1）‎ E F A D B C E F A D B C B'‎ G ‎（图2－1）‎ ‎（图2－2）‎ ‎（1）第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．‎ B A C ‎（图3－1）‎ A B C I E D G F H a ‎ ‎（图3－2）‎ ‎（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．‎ ‎（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:‎ 如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，‎ A C'‎ B O A'‎ C B'‎ ‎（图4－1）‎ 请利用图形变换探究S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'与的大小关系．‎ ‎2011—2012第二学期初三调研 数学试题参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．‎ 一、选择题（每小题2分，共12分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 B C B A C D 二、填空题（每小题2分，共20分）‎ ‎7．x≥2 8．15 9．∠D＝∠C（答案不唯一） 10．外切 11．1.2×103‎ ‎12．148.3（写成148°18'扣1分） 13．200 14．2008 15．6 16． 三、解答题（本大题共12小题，共88分）‎ ‎17．（本题6分）‎ 解：＋＋2－sin30°‎ ‎＝2＋2－＋－ ……………………………………………………4分 ‎ ＝＋2 ……………………………………………………………………6分 ‎18．（本题6分）‎ 解：(－ )÷ ‎＝[－]÷…………………………………………3分 ‎ ＝· …………………………………………………………4分 ‎ ＝………………………………………………………………………5分 代入除2，－2，0以外的数字，并计算正确……………………………6分 ‎19．（本题6分）‎ 解：解不等式①得：x≥－1． …………………………………………………2分 ‎ 解不等式②得：x＜3． ……………………………………………………4分 所以，不等式组的解集是：－1≤x＜3……………………………………5分 不等式组的正整数解是1，2………………………………………………6分 ‎20．（本题8分）‎ 解：（1）45 ………………………………………………………………………2分 ‎ ‎（2）C…………………………………………………………………………4分 ‎（3）‎ 车辆数 车速(千米/时)‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎20.5‎ ‎30.5‎ ‎40.5‎ ‎50.5‎ ‎60.5‎ ‎70.5‎ ‎80.5‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎0‎ ‎16‎ 补全直方图正确……………………………………………………………5分 ‎（既没有标16，又没有画出过16的虚线的不给分）‎ 频数折线图正确……………………………………………………………6分 ‎（4）240÷＝1350（辆） ………………………………………………7分 答：当天的车流量约为1350辆.…………………………………………8分 ‎21．（本题7分）‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠A＝∠D，AB＝CD 又∵M为AD的中点∴AM＝DM 在△AMB与△DMC中 ‎∴△AMB≌△DMC…………………………………………………3分 ‎（2）证明：四边形MENF是菱形，理由如下：………………………4分 ‎∵点N，F分别是BC、MC的中点．∴FN＝BM＝EM，FN∥BM ‎∴四边形MENF是平行四边形……………………………………5分 ‎ 又∵△AMB≌△DMC∴BM＝CM ‎∵点E，F分别是BM，CM的中点∴ME＝BM，MF＝CM ‎∴ME＝MF∴□MENF是菱形． …………………………………7分 ‎22．（本题7分）‎ 解：设每盆应该多植x株，由题意得：‎ ‎ (3＋x)(4－0.5x)＝14 ………………………………………………………3分 ‎ 解得：x1＝1，x2＝4…………………………………………………………5分 因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去……………………………6分 ‎ x＋3＝4‎ 答：每盆植4株时，每盆的盈利14元……………………………………7分 ‎23．（本题7分）‎ 解：（1）列表法 ‎ y x ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，4）‎ ‎（1，6）‎ ‎3‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，4）‎ ‎（3，6）‎ ‎5‎ ‎（5，2）‎ ‎（5，4）‎ ‎（5，6）‎ ‎7‎ ‎（7，2）‎ ‎（7，4）‎ ‎（7，6）‎ 树状图参照给分，若有个别错误，酌情扣分………………………4分 ‎（2）由题意，共有12个P点，它们出现的可能性相同． ……………5分 其中在函数y＝图象上（记为事件A）的结果有2个：（1，6），（3，2）．‎ P（A）＝＝ …………………………………………………………7分 ‎24．（本题7分）‎ 解：设EC＝x．‎ 在Rt△BCE中，tan∠EBC＝，∴BE＝＝x．……………2分 ‎ 在Rt△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝x． ……………4分 ‎∴300＋x＝x，∴x＝1800 ………………………………………………6分 ‎∴山高CD＝DE－EC＝3700－1800＝1900（米）‎ 答：这座山的高度是1900米．……………………………………………7分 ‎25．（本题9分）‎ ‎（1）证明：令y＝0‎ 则有a＝－1，b＝m－1，c＝m，‎ b2－4ac＝(m－1)2＋4m＝(m＋1)2 …………………………………………1分 ‎ 因为(m＋1)2≥0，方程y＝－x2＋(m－1)x＋m有实数根，‎ 所以该函数图像与x轴总有公共点． ………………………………2分 ‎（2）解：因为该函数的图像与y轴交于点(0，3)，所以3＝m．…………3分 所以y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．顶点坐标为（1，4）． …………5分 ‎ 画图正确（包括列表、描点正确，作图规范） …………………………7分 ‎（3）解：x＜－1或x＞3．………………………………………………………9分 ‎26．（本题8分）‎ 解：（1）小亮出发分钟回到了出发点；．…………………………………2分 ‎（2）小亮上坡的平均速度为480÷2＝240(m/min)‎ 则其下坡的平均速度为240×1.5＝360(m/min)，‎ 故回到出发点时间为2＋480÷360＝(min)，所以A点坐标为（，0），‎ 设y＝kx＋b，将B（2，480）与A（，0）代入，得，‎ 解得．所以y＝－360x＋1200．………………………5分 ‎（3）小刚上坡的平均速度为240×0.5＝120(m/min)，‎ 小亮的下坡平均速度为240×1.5＝360(m/min)，‎ 由图像得小亮到坡顶时间为2分钟，此时小刚还有480－2×120＝240m没有跑完，两人第一次相遇时间为2＋240÷(120＋360)＝2.5（min）．‎ ‎（或求出小刚的函数关系式y＝120x，再与y＝－360x＋1200联立方程组，求出x＝2.5也可以．）‎ ‎…………………………………………………………………………8分 ‎27．（本题7分）‎ 解：（1）延长AO交⊙O于点M，连接BM，∵AM是⊙O直径，‎ ‎∴∠ABM＝90°，即∠AMB＋∠MAB＝90°．‎ 在⊙O中，∵∠DAB＝∠ACB，且∠ACB＝∠AMB，‎ ‎∴∠DAB＋∠MAB＝90°，即AO⊥AD，……………………………1分 又∵直线AD经过半径OA的外端点A，‎ ‎∴直线AD与⊙O相切． ……………………………………………2分 ‎（2）连接AO、BO．‎ 在⊙O中，∵∠DAB＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°．‎ ‎∵AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO＝BO＝AB＝1‎ ＝＝，或者＝＝（算出一个得2分，两个得3分）‎ ‎…5分 O D A C M2‎ B O B D A C M1‎ ‎（3）2或1（写出一个得1分） ………………………………………7分 ‎28．（本题10分）‎ 解：（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC …………………………2分 ‎（缺旋转中心或旋转角各扣1分）‎ ‎（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，‎ B'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°，‎ ‎（或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）‎ ‎∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°………………………………………5分 ‎（3）分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．‎ 在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH2＝HR2＋AR2，HR2＝a2，‎ 则DP2＝FQ2＝HR2＝a2，‎ AD2＝AP2＋DP2＝6a2，AF2＝AQ2＋FQ2＝10a2，‎ 新三角形三边长为4a、a、a．‎ ‎∵AH2＝AD2＋AF2 ∴新三角形为直角三角形．‎ 其面积为aa＝a2．∵a2＜15 ∴a2＜15‎ ‎（或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）‎ Q A C'‎ B O A'‎ C B'‎ R P ‎∴a的最大整数值为3．………………………………………………8分 A B C I E D G F H a ‎ P Q R ‎（4）将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，‎ 将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．‎ 由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝2，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝2．又∠QOP＝60°，则PQ＝OQ＝OP＝2，‎ 又因为QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三点共线．因为S△QOP＝，‎ 所以S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'＝S△AOB'＋S△B'PR＋S△PQA＜ …………10分