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- 2024-03-30 发布
2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0
2．有下面四个判断，其中正确的个数是（ ）
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”
A．0 B．1 C．2 D．3
3．“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位），且z是纯虚数，则|a+2i|等于（ ）
A． B．2 C．2 D．40
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．6
6．一个半径为的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积为（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
7．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量+与向量=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
10．观察下列一组数据
a1=1，
a2=3+5，
a3=7+9+11，
a4=13+15+17+19，
…
则a10从左到右第一个数是（ ）
A．91 B．89 C．55 D．45
11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（ ）
A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0
C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知f1（x）=（x2+2x+1）ex，f2（x）=[f1（x）]′，f3（x）=[f2（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N*．设fn（x）=（anx2+bnx+cn）ex，则b2015= ．
14．（+xcosx）dx= ．
15．若函数y=cosx（0≤x≤π）的图象和直线y=2、直线x=π、y轴围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ．
16．函数f（x）=ex（x﹣aex） 恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．
（1）若p为真命题，求m 的取值范围；
（2）当a=1 时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=e3ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈（﹣2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围．
19．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△
ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）
（1）当a= 时，求f（x） 的极值；
（2）若a∈（，1）时f（x） 存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2） 与f（0）的大小．
22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．
（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．
2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0
【考点】全称命题．
【分析】由∀x1∈[，3]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．
【解答】解：当x1∈[，3]时，由f（x）=x+得，f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[，2]单调递减，在（2，3]递增，
∴f（2）=4是函数的最小值，
当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，
∴g（2）=a+4是函数的最小值，
又∵∀x1∈[，3]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），
可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
即4≥a+4，解得：a≤0，
故选：C．
【点评】本题考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．
2．有下面四个判断，其中正确的个数是（ ）
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．
【分析】写出①的逆否命题，判断逆否命题的真假，即可判断①的正误．
通过复合命题的真假判断②的正误；
利用全称命题的否定，写出其特称命题判断即可．
【解答】解：①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”是一个真命题，
所以①是真命题；
②若“p或q”为真命题，一真即真，所以p、q均为真命题说法不正确；
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2（a﹣b﹣1）”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2（a﹣b﹣1）”不满足全称命题的否定是特称命题，所以不正确；
正确命题的个数是1个．
故选B．
【点评】本题考查命题的否定，四种命题的逆否关系，复合命题真假的判断，基本知识的应用．
3．“m”是“函数f（x）=2的值不小于4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出m的范围，根据不等式的性质求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式求出m的范围即可．
【解答】解：m=（4x﹣x3）=﹣3，
f（x）≥2=2，
若f（x）的值不小于4，
则2≥4，解得：m≤﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了定积分的计算，考查不等式的性质以及充分必要条件，是一道中档题．
4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位），且z是纯虚数，则|a+2i|等于（ ）
A． B．2 C．2 D．40
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，令实部等于0，虚部≠0，求出a，然后直接求|a+2i|．
【解答】解：复数z==
它是纯虚数，所以a﹣6=0，即：a=6
|a+2i|=
故选C．
【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数求模，考查计算能力，是基础题．
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．6
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，
其中底面边长为3的正方形，
棱锥的高为4，
∴四棱锥的体积．
故选C．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．
6．一个半径为的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积为（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】求出正四棱柱的底面边长，即可求出该正四棱柱的表面积．
【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，则2a2+16=24，∴a=2，
∴该正四棱柱的表面积为2×22+4×2×4=40，
故选：D．
【点评】本题考查该正四棱柱的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．
7．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥
平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；
【解答】解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，AB=BC=2，AD=3，PA=2，则P（0，0，2），
B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），
从而=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，3，﹣2），
设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，
不妨取c=3，则b=2，a=1，
所以平面PCD的一个法向量为=（1，2，3），（4分）
所以PB与平面PCD所成角的正弦值
sinθ=|cos＜，＞|=||=||=，
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．
8．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点．若向量+与向量=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．F（﹣c，0）．直线l的方程为：y=x+c，与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，根据向量+与向量=（3，﹣1）共线，及其根与系数的关系即可得出．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．F（﹣c，0）．
直线l的方程为：y=x+c，联立，化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，
∴x1+x2=，y1+y2=x1+x2+2c=，
∴向量+=（，），
∵向量+与向量=（3，﹣1）共线，
∴﹣﹣3×=0，
∴a2=3b2，
∴==．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知双曲线的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=，即可求出双曲线Γ的离心率．
【解答】解：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，
∵y=1+lnx+ln2，
∴y′=，
∴，
∴n=1，m=，
∴=，
∴e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线Γ的离心率，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．观察下列一组数据
a1=1，
a2=3+5，
a3=7+9+11，
a4=13+15+17+19，
…
则a10从左到右第一个数是（ ）
A．91 B．89 C．55 D．45
【考点】归纳推理．
【分析】观察数列{an} 中，各组和式的第一个数：1，3，7，13，…找出其规律，从而得出a10的第一个加数为91．
【解答】解：观察数列{an} 中，a1=1，a2=3+5，a3=7+9+11，a4=13+15+17+19，…，
各组和式的第一个数为：1，3，7，13，…
即1，1+2，1+2+2×2，1+2+2×2+2×3，…，
其第n项为：1+2+2×2+2×3+…+2×（n﹣1）．
∴第10项为：1+2+2×2+2×3+…+2×9=1+2×=91．
从而a10的第一个加数为91．
故选A．
【点评】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题．
11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．
【分析】根据a，b，c的表示形式构造函数g（x）=xf（x），根据条件可说明x＞0时，g′（x）＞0，这便得到g（x）在（0，+∞）上单调递增．而由f（x）为奇函数便可得到b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），而容易判断ln2＜1＜
2，从而得到g（ln2）＜g（1）＜g（2），这样便可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：设g（x）=xf（x），；
∵x≠0时，；
∴x＞0时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∵f（x）为奇函数；
∴b=﹣2f（﹣2）=2f（2），；
又a=f（1）=1f（1）；
∵ln2＜1＜2，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（ln2）＜g（1）＜g（2）；
即（ln2）f（ln2）＜1f（1）＜2f（2）；
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】考查构造函数解决问题的方法，会求积的导数，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及奇函数的定义，增函数的定义．
12．已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（ ）
A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0
C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0 D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0
【考点】全称命题．
【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决
【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，
∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），
令f′（x）=0，解得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a
∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，
若f（x）≥0恒成立，
只要e2a﹣1+a≥0，
设g（a）=e2a﹣1+a，
∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，
令g′（a）=0，解得a=
当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增
∴g（a）＜g（）=0，
∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，
当a≠时，f（x）＜0，故C错误
故选：C
【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知f1（x）=（x2+2x+1）ex，f2（x）=[f1（x）]′，f3（x）=[f2（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N*．设fn（x）=（anx2+bnx+cn）ex，则b2015= 4030 ．
【考点】导数的运算．
【分析】根据题意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得bn=2n，代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f1（x）=（x2+2x+1）ex，
f2（x）=[f1（x）]′=（x2+4x+3）ex，
f3（x）=[f2（x）]′=（x2+6x+7）ex，
f4（x）=[f3（x）]′=（x2+8x+13）ex，
…
分析可得fn（x）=（x2+2nx+n2﹣n+1）ex，
则bn=2n；
b2015=2×2015=4030；
故答案为：4030．
【点评】本题考查了导数的运算法则和归纳推理的问题，关键在于正确求导．
14．（+xcosx）dx= ．
【考点】定积分．
【分析】由定积分的性质和几何意义分别求得（xcosx）dx=0， dx=，由定积分的运算（+xcosx）dx=dx+（xcosx）dx=．
【解答】解：（+xcosx）dx=dx+（xcosx）dx，
由y=xcosx为奇函数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即（xcosx）dx=0，
dx的几何意义可知：表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆的一半，
则dx=，
故（+xcosx）dx=dx+（xcosx）dx=，
故答案为：
【点评】本题考查定积分的性质和几何意义，考查定积分的运算，考查计算能力，属于中档题．
15．若函数y=cosx（0≤x≤π）的图象和直线y=2、直线x=π、y轴围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 2π ．
【考点】定积分．
【分析】画出函数y=cosx，（0≤x≤π）的图象和直线y=2、直线x=π、y轴围成一个封闭的平面图形如图，容易求出封闭图形的面积．
【解答】解：画出函数y=cosx，（0≤x≤π）的图象和直线y=2、
直线x=π、y轴围成一个封闭的平面图形如图：
显然图中封闭图形的面积，就是矩形面积=2π．
故答案为：2π
【点评】本题是基础题，考查余弦函数的图象，几何图形的面积的求法，利用图象的对称性解答，简化解题过程，可以利用积分求解；考查发现问题解决问题的能力．
16．函数f（x）=ex（x﹣aex） 恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是 （0，） ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）=0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=ex（x﹣aex），求导，f′（x）=（x+1﹣2a•ex）ex，
由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，
即x1，x2是方程f′（x）=0的两不等实根，
即方程x+1﹣2aex=0，且a≠0， =ex；
设y1=（a≠0），y2=ex，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，
如图所示：
要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，
解得：0＜a＜，
∴a的取值范围是（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值的应用，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（10分）（2017春•路南区校级月考）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．
（1）若p为真命题，求m 的取值范围；
（2）当a=1 时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立，可得﹣2≥m2﹣3m，解得m范围．
（2）a=1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．可得m≤1．由p且q为假，p或q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．
【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．
（2）a=1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．∴m≤1．
∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q必然一真一假，
∴或，
解得1＜m≤2或m＜1．
∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．
【点评】本题考查了不等式的性质与解法、恒成立问题的等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017春•路南区校级月考）已知函数f（x）=e3ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈（﹣2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；
（2）根据∀x∈（﹣2，2），ex＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记h（x）=，x∈（﹣2，0）∪（0，2），根据函数的单调性求出k的范围即可．
【解答】解：（1）∵f'（x）=3ae3ax，∴f′（1）=3ae3a=e，∴a=，
∵g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）为奇函数，∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=ex，g（x）=kx．
∵当x∈（﹣2，2）时，图象C恒在l的上方，∴∀x∈（﹣2，2），ex＞kx恒成立，
当x=0时，e0=1＞0×k显然可以，
记h（x）=，x∈（﹣2，0）∪（0，2），则h′（x）=，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），
∴h（x）在（﹣2，0）上单调减，在（0，1]上单调减，在[1，2）上单调增，
∵，x=﹣2， =﹣，
∴k∈[﹣，e），
∵k≠0，∴所求实数k的取值范围是[﹣，0）∪（0，e）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想、换元思想，是一道综合题．
19．（12分）（2007•陕西）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴，．
∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2
=
=
=
=
=．
当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．
20．（12分）（2017•枣阳市校级一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，推导出DE∥BC1，从而D为AB的中点，再由△ABC是等边三角形，能证明CD⊥AB．
（2）推出A1A⊥AD，A1A⊥BC，从而A1A⊥平面ABC，设BC的中点为O，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，
连接DE，则E为AC1中点，
∵BC1∥平面A1CD，DE=平面A1CD∩平面ABC1，
∴DE∥BC1，∴D为AB的中点，
又∵△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB．
解：（2）∵，∴A1A⊥AD，
又B1B⊥BC，B1B∥A1A，∴A1A⊥BC，
又AD∩BC=B，∴A1A⊥平面ABC，
设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，
以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．
则，
即，
设平面DA1C的法向量为，
由，得，令x1=1，得，
设平面A1CB1的法向量为，
由，得，令x2=1，得，
∴，
故二面角D﹣A1C﹣B1的余弦值是．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．（12分）（2017春•路南区校级月考）已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）
（1）当a= 时，求f（x） 的极值；
（2）若a∈（，1）时f（x） 存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2） 与f（0）的大小．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；
（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论．
【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域，解得x＞﹣2，
f′（x）=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，
故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值．
（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，
f′（x）=，
由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣，
ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，
f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣，
即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+﹣2，
设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，
当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，
g′（t）=﹣=＜0，
g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，
即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，
综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查构造函数，运用导数判断单调性，运用单调性比较大小，运用已知不等式和累加法证明不等式的方法，属于中档题．
22．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．
（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）将m=1代入函数表达式，通过讨论函数的单调性证明结论即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围确定函数的零点即可．
【解答】证明：（1）m=1时，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），则g′（x）=，
当﹣1＜x≤0时，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）递增，
∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；
解：（2）f′（x）=，②，
令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，
（i）m=1时，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，
∴x＞﹣1时，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）递增，
∴﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
故函数y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1个零点x=0；
（ii）0＜m＜1时，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，
由②得：x∈（﹣，m﹣]时，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，
此时，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]时，f′（x）≤0，x≥0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）递增，在（m﹣，0]递减，
故m﹣＜x＜0时，f（x）＞f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1个零点x=0，
又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），
构造函数ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，
则ω′（t）=④，易知：∀t∈（0，1），ω′（t）≤0，
∴y=ω（t）在（0，1）递减，∴ω（t）＞ϖ（1）=0，
由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，
构造函数k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则k′（x）=，
0＜x＜≤1时，k′（x）≥0，x＞1时，k′（x）＜0，
∴k（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，
∴k（x）≤k（1）=0，∴ln≤﹣1＜+1，
则＜m2，＜m﹣，
∴﹣＜x＜时，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，
而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，
由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，
又函数f（x）在（﹣，m﹣]递增，m﹣＞，
由⑤⑧和函数零点定理得：∃x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，
综上0＜x＜＜1时，函数f（x）有2个零点，m=1时，f（x）有1个零点．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明以及函数的零点问题，是一道综合题．