2013届人教A版文科数学课时试题及解析（6）函数的奇偶性与周期性B 4页

课时作业(六)B　[第6讲　函数的奇偶性与周期性]‎ ‎ [时间：35分钟　　分值：80分]‎ ‎1． 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)‎ A．ex－e－x B.(ex＋e－x)‎ C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)‎ ‎2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象(　　)‎ A．关于点(1,0)对称 B．关于点(0,1)对称 C．关于点(－1,0)对称 D．关于点(0，－1)对称 ‎3． 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ 图K6－1‎ ‎4． 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．‎ ‎5． 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是(　　)‎ A．f(x)＝ln B．f(x)＝－|x＋1|‎ C．f(x)＝(ax＋a－x) D．f(x)＝sinx ‎6．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝(　　)‎ A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}‎ C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}‎ ‎7． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2011)＋f(2013)的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．0 D．无法计算 ‎8．关于函数f(x)＝lg(x∈R，x≠0)，有下列命题：‎ ‎①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；‎ ‎②在区间(－∞，0)上，f(x)是减函数；‎ ‎③函数y＝f(x)的最小值是lg2；‎ ‎④在区间(－∞，0)上，f(x)是增函数．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①② B．②④ C．①③ D．③‎ ‎9． 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．2‎ ‎10．设a为常数，f(x)＝x2－4x＋3，若函数f(x＋a)为偶函数，则a＝________；f[f(a)]＝________.‎ ‎11． 设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．‎ ‎12．(13分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．‎ ‎(1)求a，b，c的值；‎ ‎(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．‎ ‎13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.‎ ‎(1)试判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；‎ ‎(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．‎ 课时作业(六)B ‎【基础热身】‎ ‎1．D　[解析] 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又因为f(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝.‎ ‎2．B　[解析] 令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称，当x＝0时，有f(0)－1＝0，此时f(0)＝1，所以对称中心为(0,1)．‎ ‎3．B　[解析] 由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.‎ ‎4．－1　[解析] 设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数．又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选A.‎ ‎6．B　[解析] ∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．‎ ‎7．C　[解析] 由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(3)＝f(－1)，f(2013)＝f(1)．又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2011)＋f(2013)＝0.‎ ‎8．C　[解析] 由函数f(x)的定义域为∪，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝lg＝lg≥lg2，函数f(x)在，上为减函数，在，上为增函数．故①③正确．‎ ‎9．A　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f＝0.于是f＝－f＝0，故选A.‎ ‎10．2　8　[解析] 由题意得f(x＋a)＝(x＋a)2－4(x＋a)＋3＝x2＋(‎2a－4)x＋a2－‎4a＋3，因为f(x＋a)为偶函数，所以‎2a－4＝0，a＝2.f[f(a)]＝f[f(2)]＝f(－1)＝8.‎ ‎11．－8　[解析] ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f，‎ ‎∴f(|2x|)＝f，‎ 又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，‎ ‎∴|2x|＝，‎ 即2x＝或2x＝－，‎ 整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，‎ 设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.‎ 则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.‎ ‎12．[解答] (1)由f(1)＝2，得＝2，由f(2)<3，得<3.∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又函数f(x)的定义域为，‎ 则－＝0，∴c＝0，于是得f(x)＝＋，且＝2，<3，∴<3，即00，‎ ‎∴函数f(x)在[－1,0)上为减函数．‎ 综上所述，函数f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] (1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)．又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数．‎ ‎(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.又∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.又f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.‎ ‎(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)．又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x(3x－2)|≥16，即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，解得x≤－2或x≥，∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为.‎ ‎ ‎