2019-2020学年山西省长治市第二中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年山西省长治市第二中学高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若直线过点，，则此直线的倾斜角是( )‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率，‎ 故倾斜角是.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由两点坐标求直线斜率，属于基础题.‎ ‎2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 (　　)‎ A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由圆x2＋y2－4x＋6y＝0的方程；代入圆心坐标公式, 可得；.‎ ‎【考点】圆的一般方程及圆心坐标的算法.‎ ‎3．设m，n是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是( )‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】在A中，与平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得；‎ 在C中，或；在D中，与相交，平行或.‎ ‎【详解】‎ 由，表示两条不同直线，表示平面，则有 A中与平行或异面，故A错误,‎ B若，则由线面垂直的性质定理得，故B正确.‎ C若，则或，故C错误.‎ D若，则与相交，平行或，故D错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线、直线与平面位置关系，考查线面平行、线面垂直的判定，考查概念辨析，属于基础题.‎ ‎4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于空间的四点M、A、B、C，要证四点共面，只需满足，且 即可，然后对四个选项中的关系进行分析，找出满足上面关系的即为一定共面的选项.‎ ‎【详解】‎ 空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且 即可，‎ 对于A，中，故此时四点M、A、B、C四点不共面；‎ 对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；‎ 对于C，，，‎ 即，，‎ 此时四点M、A、B、C四点共面；‎ 对于D，，则，‎ ‎，此时四点M、A、B、C四点不共面；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题是一道关于判断平面向量共面的题目，解答本题的关键是熟练掌握向量共面的判定方法.‎ ‎5．已知直线，与平行，则的值是（　　）‎ A．0或1 B．1或 C．0或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得：或，故选C.‎ ‎【考点】直线平行的充要条件．‎ ‎6．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则＝( 　 )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 如图，连接为中点，在中，可得，由，则，那么．故本题答案选C．‎ 点睛：进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决．‎ ‎7．直线关于直线对称的直线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．‎ ‎【详解】‎ 设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D． ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题．‎ ‎8．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的 ‎,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.‎ ‎【考点】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.‎ ‎9．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为( )‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.‎ ‎【详解】‎ 如图所示 由正四面体的性质可得：‎ 可得：‎ 是棱中点 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.‎ ‎10．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先可以通过联立直线与直线方程解出交点坐标，然后再根据交点位于第一象限得出以及，最后通过计算得出结果。‎ ‎【详解】‎ 联立，解得，‎ 由于直线与直线的交点位于第一象限，‎ 所以，解得，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面直角坐标系的相关性质以及直线的相关性质，平面直角坐标系的第一象限有以及；第二象限有以及；第三象限有以及；第四象限有以及。‎ ‎11．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，‎ 而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，‎ 当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，‎ 当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，‎ 故有8+4+4=16‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．‎ ‎12．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，在平面上，由计算的轨迹方程，可知的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，在正方形中的部分；根据平行找直线与所成角的平面角，根据的轨迹判定临界值，从而确定直线与所成角的余弦值的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则有，‎ 设，由，则列方程有 化简得，即点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，在正方形中的部分；‎ 过作垂足为,连接，则有 则直线与所成角的平面角为，‎ 则 根据点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，在正方形中的部分，‎ 则点轨迹与正方形的边交于一点，记为 与正方形的边交于一点，记为 当点从运动到位置时，逐渐减小，逐渐增大，则的取值逐渐减小，‎ 计算，‎ 则直线与所成角的余弦值的取值范围是 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角，考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．两平行直线与间的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据两条平行线间距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意两平行直线间的距离 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条平行直线间距离公式，属于基础题.‎ ‎14．经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】在坐标轴上截距相同可设直线截距式方程，将点A(1,1)代入直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当直线的截距不为0时即不经过原点，‎ 设直线方程是：‎ 因为直线过点 A(1,1)‎ 所以 解得a=2‎ 即直线方程是 ‎（2）当直线经过原点时方程为：‎ 综上所述直线方程为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查利用直线截距式方程求解直线问题，利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方程没有把平面内的所有制直线都包含在内，将经过原点的直线和平行于坐标轴的直线遗漏了，因此需要将这两类直线单独计算，以防遗漏.‎ ‎15．若的图象与直线（）有两个不同交点，则a的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先根据已知题意画出图形，然后根据数形结合分析的取值范围，需要注意为的斜率.‎ ‎【详解】‎ 根据题意的图象如图：，结合图象知，要想有两个不同交点 的斜率要大于的斜率 的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的交点问题，考查数形结合能力，属于中等题型.‎ ‎16．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是__________．‎ ‎【答案】6π．‎ ‎【解析】‎ 取中点，连接，平面为二面角，在中，，取等边的中心，作平面，过作平面为外接球球心，，二面角的余弦值是，点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知圆过两点、，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）判断点与圆的关系.‎ ‎【答案】（1）；（2）点P在圆外.‎ ‎【解析】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；‎ ‎（2）根据点与圆C的位置关系，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆心在直线上，‎ 设圆心坐标为，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 解得，即圆心为，‎ 半径 则圆的标准方程为 ‎（2）‎ 点在圆的外面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）圆的标准方程求解（2）判断一点是否在圆上，属于基础题.‎ ‎18．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量，且.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】（1）由得出，利用正弦定理边角互化的思想，以及内角和定理将转化为，并利用两角和的正弦公式求出的值，于此得出角的值.‎ ‎（2）由三角形的面积公式求出，结合余弦定理得出的值，可求出的值，即可求解周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ 由正弦定理，，‎ ‎∴‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由三角形面积公式得：，解得.‎ 由余弦定理，，‎ ‎∴，从而 ‎，周长为6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）正弦定理将边化成角（2）余弦定理的应用，考查转化与化归思想，属于基础题.‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，.‎ ‎（1）求证：平面PAD；‎ ‎（2）求PD与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）设中点为，连结,推导出四边形是平行四边形，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面.‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设PA中点为G，连结EG，DG.‎ 因为，且，，‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以，且.‎ 因为正方形，所以，，‎ 所以，且.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）如图建立空间坐标系，则，，，，，‎ 所以，‎ 设平面PCE的一个法向量为，‎ 所以.‎ 令，则，所以.‎ 设PD与平面PCE所成角为，‎ 则.‎ 所以PD与平面PCE所成角的正弦值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）线面平行的证明，（2）利用空间直角坐标系求线面角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为（1，2），求：‎ ‎（1）点A和点C的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）A（－1，0）， C（5，－6）（Ⅱ）12‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出点的坐标，求出的斜率，得到直线的方程，从而求出点的坐标；（2）求出的长，再求出到的距离，从而求出三角形的面积即可．‎ 试题解析：（1）解：由得顶点．‎ 又的斜率．‎ ‎∵轴是的平分线，‎ 故的斜率为，所在直线的方程为①‎ 已知BC上的高所在直线的方程为，故的斜率为，‎ BC所在的直线方程为②‎ 解①，②得顶点的坐标为．‎ ‎（2）‎ 又直线的方程是 到直线的距离 所以的面积 ‎【考点】1．点到直线的距离公式；2．待定系数法求直线方程．‎ ‎21．将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙.‎ ‎（1）求证：平面BDC；‎ ‎（2）求二面角的大小的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面.‎ ‎（2）利用空间二角的定义先求出是二面角的平面角，然后根据三角形的边角关系求出二面角的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设D在AB的射影为O，则平面ABC，‎ ‎∴，又，∴平面ADB ‎∴，又，∴平面BDC ‎（2）由（1），又，‎ ‎∴，‎ ‎∴O为AB中点 以OB为x轴，OD为z轴，过O且与BC平行的直线为y轴建系，则 设为平面ACD的法向量，由，可得 易知为平面ABC的法向量，‎ 所以所求二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）线面垂直的证明（2）利用空间直角坐标系求二面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题型.‎ ‎22．如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，.‎ ‎(1)求证：平面⊥平面；‎ ‎(2)若点在平面内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连接，交于点，连接，先通过证明，得出平面，再根据面面垂直的判定定理由平面证明平面 BED⊥平面即可；（2）取的中点，的中点，先通过平面//平面得出点在线段上，然后建立空间直角坐标系并设，从而求出平面的法向量及的坐标，设直线与平面所成的角为，则，最后根据即可求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：如图，连接，交于点，连接，‎ 因为，，，‎ 所以，易得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又，，所以⊥平面，‎ 又平面，所以.‎ 又底面是圆内接四边形，‎ 因为，‎ 在中，由，，可得，，‎ 所以，，‎ 易得与相似，所以，‎ 即.‎ 又、平面，，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以平面BED⊥平面.‎ ‎(2)解：如图，取的中点，的中点，连接，，，‎ 则，由(1)知，，即，‎ 所以为正三角形，所以，又，‎ 所以平面//平面，‎ 所以点在线段上.‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，即，‎ 令，则，‎ 设，可得 ‎，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则，‎ 因为，所以当时，取得最大值.‎ 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点在线段上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题.‎