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- 2024-03-27 发布
江西师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确.
1．（5分）已知z∈C，映射的实部，则3+4i的像为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
复数代数形式的乘除运算；映射．.
专题：
计算题．
分析：
3+4i的像为的实部，化简后由实部的定义可得答案．
解答：
解：由题意可得：3+4i的像为的实部，
化简得===，
故其实部为，
故选C
点评：
本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及模长和映射，属基础题．
2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2的值域为[1，2]，则f（x）的定义域不可能是（ ）
A．
（0，2]
B．
[0，1]
C．
[1，2]
D．
[0，3]
考点：
函数的定义域及其求法．.
专题：
计算题．
分析：
先对函数解析式平方，再求出f（x）=1或2对应的自变量，根据对称轴和值域判断符合条件的区间．
解答：
解：∵f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴f（1）=1，
令f（x）=2得，x2﹣2x=0，解得，x=0或2，
∵对称轴x=1，
∴f（x）的定义域必须有1、0或2，且不能小于0或大于2，
∴区间（0，2]，[0，1]，[1，2]都符合条件，
由于区间[0，3]中有大于2的自变量，故函数值有大于2的，
故答案为：D．
点评：
本题考查了二次函数的性质，即由值域确定函数的定义域问题．
3．（5分）直线y=k（x﹣1）与圆x2+y2=1的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相切
C．
相交
D．
相交或相切
考点：
直线与圆的位置关系．.
专题：
探究型；直线与圆．
分析：
利用直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在，即可得到结论．
解答：
解：直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在
∵（1，0）在圆x2+y2=1上
∴直线y=k（x﹣1）与圆x2+y2=1的位置关系是相交
故选C．
点评：
本题考查直线与圆的位置关系，确定直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在是关键．
4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（ ）
①直线的斜率随倾斜角的增大而增大；
②若直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α；
③“两直线斜率相等”是“两直线平行”的必要不充分条件；
④过一点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线一定有3条；
⑤双曲线的实轴长为2a．
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
考点：
命题的真假判断与应用．.
专题：
综合题．
分析：
根据正切函数在（0°，180°）上不是单调函数，可得α∈（0°，180°）时，α越大k越大是不正确的；
因为斜率为tanα的角由无数个，而直线的倾斜角仅有一个，故②不正确；
“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；
过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，故④不正确；
双曲线的实轴长为2b，故⑤不正确；
解答：
解：正切函数在（0°，90°）和（90°，180°）上均为增函数，但在（0°，180°）上不是单调函数，故①直线的斜率随倾斜角的增大而增大不正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为 β=α+k×180°，k∈z，且 0°≤β＜180°，故②不正确．
“两直线斜率相等”时，两直线可能重合，“两直线平行”时两直线斜率可能同时不存在，故“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；
过过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，过原点在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有无数条，过象限内一点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条，故④不正确；
双曲线的实轴长为2b，故⑤不正确
故选A
点评：
本题以命题的真假判断为载体，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，直线平行的充要条件，直线的截距，双曲线的简单性质等知识点，难度中档．
5．（5分）过点P（3，4）且与坐标轴围成的三角形面积为25的直线有（ ）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
考点：
直线的一般式方程．.
专题：
计算题．
分析：
根据题意可设所求直线的方程为：y﹣4=k（x﹣3），其中k≠0，然后令x、y分别为0，可求出三角形的边长，可得=25，研究方程解的情况即可．
解答：
解：由题意所求直线的斜率必存在且不为0，并设其斜率为k，（k≠0）
于是所求直线方程为y﹣4=k（x﹣3），
令x=0，可得y=4﹣3k，令y=0，可得x=，
故面积为=25，即（3k﹣4）2=50|k|，
∴当k＞0时，上式可化为9k2﹣74k+16=0，有△＞0且k1+k2＞0，k1k2＞0，
故此方程有两个大于0的实数解，即有两条斜率大于0的直线满足题意；
同理当k＜0时，上式可化为9k2+26k+16=0，有△＞0且k1+k2＜0，k1k2＞0，
故此方程有两个小于0的实数解，即有两条斜率小于0的直线满足题意；
综上共有4条直线满足题意，
故选D
点评：
本题考查直线方程的求解，解题的关键是得出所求直线方程的斜率存在且不为0，根据题意列出关于k的方程，并由根与系数的关系作出解的个数的判断．
6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，且b1=a2，b5=a4，则S5T5=（ ）
A．
400
B．
﹣400
C．
±400
D．
﹣200
考点：
等比数列的性质；等差数列的性质．.
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等差数列{an}中，由a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，知a2+a4=﹣5，a2•a4=4，由此能求出S5；由等比数列{bn}中，b1=a2，b5=a4，得到=±2，由等比数列{bn}的前n项积为Tn，能求出T5．由此能够求出S5T5．
解答：
解：∵等差数列{an}中，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，
∴a2+a4=﹣5，a2•a4=4，
∴S5===﹣，
∵等比数列{bn}中，b1=a2，b5=a4，
∴b1b5=（b1q2）2=a2•a4=4，
∴=±2，
∵等比数列{bn}的前n项积为Tn，
∴T5==（）5=±32，
∴S5T5=±400．
故选C．
点评：
本题考查等差数列和等比数列的性质及其应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
7．（5分）已知，则下列说法不正确的是（ ）
A．
若，则sin（α﹣θ）=0
B．
若，则cos（α﹣θ）=0
C．
D．
与的夹角为|α﹣θ|
考点：
平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．.
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
根据向量数量积的坐标运算法则，结合三角函数的性质对选项进行逐一验证即可．
解答：
解：∵，
∴若，则cosθsinα﹣sinθcosα=0，
∴sin（α﹣θ）=0，故A正确；
∵，
∴若，则cosθcosα+sinθsinα=0
∴cos（α﹣θ）=0，故B正确；
∵，
∴=1，=1，
∴﹣=（）（）=0，
∴（）⊥（），故C正确；
∵，
∴cos＜＞==cos＜θ﹣α＞，
∴与的夹角为|θ﹣α|，或π﹣|θ﹣α|．故D不成立．
故选D．
点评：
本题主要考查向量数量积的运算．解题时要明确两向量互相垂直时，二者的数量积等于0．
8．（5分）在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），若△ABC满足条件分别为①周长为10；②∠A=90°；③kABkAC=1．则A的轨迹方程分别是a：x2+y2=4（y≠0）；；c：x2﹣y2=4（y≠0），则正确的配对关系是（ ）
A．
①a②b③c
B．
①b②a③c
C．
①c②a③b
D．
①b②c③a
考点：
轨迹方程．.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
①由△ABC的周长为10，知AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，由向量知识导出x2+y2﹣4=0，与c对应；③kABkAC=1，由直线斜率导出x2+y2=4，与a对应．
解答：
解：△ABC中，∵B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），
∴BC=4，=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），kAB=，kAC=，
①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，
故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；
②∠A=90°，故•=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与a对应；
③kABkAC=1，故．即x2﹣y2=4，与c对应．
故选B．
点评：
本题考查轨迹方程的求法，具体涉及到椭圆、圆、双曲线、向量、直线等基本知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
9．（5分）（2012•朝阳区一模）已知点集A={（x，y）|x2+y2﹣4x﹣8y+16≤0}，B={（x，y）|y≥|x﹣m|+4，m是常数}，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M，N．若点D（m，4）在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是（ ）
A．
1
B．
2
C．
D．
4
考点：
简单线性规划的应用．.
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
先确定点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部，由此可得结论．
解答：
解：由题意，点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部
当D运动到O′时，△DMN的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形，
所以面积为2
故选B．
点评：
本题考查图形面积的计算，考查平面区域的确定，正确确定平面区域是关键．
10．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（ ）
A．
R＞Q＞P
B．
R＞P＞Q
C．
P＞R＞Q
D．
Q＞P＞R
考点：
不等关系与不等式．.
专题：
新定义．
分析：
在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．
解答：
解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
设x＜y，则，所以
所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，
由，得：
取y=，，则x=，
所以，
因为0＜，所以
所以R＞P＞Q．
故选B．
点评：
本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
11．（5分）直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为 8 ．
考点：
直线与圆相交的性质．.
专题：
计算题．
分析：
求出圆的圆心坐标、半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长即可．
解答：
解：x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，
所以|AB|==4，
所以|AB|=8
故答案为：8
点评：
本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、弦长问题，考查计算能力．
12．（5分）已知P是椭圆上一点，若，则|PF1||PF2|= 4 ．
考点：
椭圆的简单性质．.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由P是椭圆上一点，，利用椭圆的第一定义和余弦定理联立，能够求出|PF1||PF2|．
解答：
解：∵P是椭圆上一点，
∴|PF1|+|PF2|=4，
两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，①
在△F1PF2中，∵|F1F2|=2，，
∴由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=4，
即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|=4，②
①﹣②，得：3|PF1||PF2|=12，
∴|PF1||PF2|=4．
故答案为：4．
点评：
本题考查椭圆的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的第一定义和余弦定理的灵活运用．
13．（5分）已知a，b∈R+，直线bx﹣ay﹣ab=0始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，则a+b的最小值为 9 ．
考点：
基本不等式；直线与圆相交的性质．.
专题：
计算题；直线与圆．
分析：
由题意可知直线经过圆的圆心，求出圆的圆心，代入直线方程得到a，b的关系，然后利用基本不等式求出a+b的最小值．
解答：
解：圆（x﹣1）2+（y+4）2=4圆心为（1，﹣4），
因为直线bx﹣ay﹣ab=0（a＞0，b＞0）始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，所以直线经过圆的圆心，
所以4a+b﹣ab=0，
即=1，（a＞0，b＞0）
∴a+b=（a+b）（）=5+≥5+2=9
当且仅当，即a=3，b=6时，a+b的最小值为9
故答案为：9
点评：
本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中档题．
14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为B，抛物线上一点A（x0，2）满足，则p= 2 ．
考点：
抛物线的简单性质．.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
抛物线y2=2px（p＞0）焦点F（，0），准线与x轴交点B（﹣，0），由抛物线上一点A（x0，2），知A（，2），再由，利用两点间距离公式建立方程能求出p的值．
解答：
解：∵抛物线y2=2px（p＞0），
∴它的焦点F（，0），准线与x轴交点B（﹣，0），
∵抛物线上一点A（x0，2），
∴2px0=4，解得x0=，∴A（，2），
∵，
∴=，
整理，得p4﹣8p2+16=0，解得p2=4．
∵p＞0，∴p=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查抛物线的简单性质的应用，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的灵活运用．
15．（5分）已知直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，下列命题中真命题序号为 ②③④
①直线l的斜率为tanθ；
②存在实数λ，使得对任意的θ，直线l恒过定点；
③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆相切；
④若圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，则λ=±1．
考点：
命题的真假判断与应用．.
专题：
计算题；直线与圆．
分析：
①当cosθ=0时，直线l没有斜率；②存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切；④由圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，知圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，由此求出λ=±1．
解答：
解：①当cosθ=0时，直线l没有斜率，故①不正确；
②当λ=0时，直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ=0，
当sinθ=0时，cosθ=1，直线l：﹣y=0过定点（0，0），
当sinθ≠0时，直线l：x﹣y=0过定点（0，0），
∴存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；
③∵直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，
∴点（﹣1，0）到直线l的距离d==|λ|，
∴对任意非零实数λ，都有对任意的θ，
直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切，故③正确；
④∵圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，
∴圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，
∴|﹣sinθ﹣0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正确．
故答案为：②③④．
点评：
本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，注意直线、圆、点到直线距离公式等知识点的合理运用．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC）
（1）求角A的值；
（2）求f（x）=sin2xcosA+cos2xsinA，x∈[0，π]的最值及单调递减区间．
考点：
余弦定理的应用；复合三角函数的单调性．.
专题：
综合题；解三角形．
分析：
（1）根据（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC），利用正弦定理，再结合余弦定理，即可求角A的值；
（2）将函数化简，确定，从而可求函数的最值及单调递减区间．
解答：
解：（1）由题意，（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC）
∴（b+a）（b﹣a）=c（b﹣c）
∴b2+c2﹣a2=bc，∴
∵A∈（0，π），∴
（2）
∵x∈[0，π]，∴
从而当，即时，f（x）max=1
由得，从而f（x）的单调递减区间为
点评：
本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．
17．（10分）（2010•崇文区一模）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC1B1．
（2）求证：MN⊥平面A1B1C．
（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．
考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．.
专题：
证明题；综合题；转化思想．
分析：
（Ⅰ）连接BC1，AC1，通过M，N是AB，A1C的中点，利用MN∥BC1．证明MN∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）说明四边形BCC1B1是正方形，连接A1M，CM，通过△AMA1≌△AMC．说明MN⊥A1C然后证明MN⊥平面A1B1C．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．在直角△MNC中．求出．即可解得．
解答：
（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．
又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．
连接A1M，CM，△AMA1≌△AMC．∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．
在直角△MNC中，，∴．
又．．
点评：
本题是中档题，考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
18．（10分）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为10，是一个与n无关的常数，数列{an}的前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和Tn；
（2）若a1，a2，a4恰为等比数列{bn}的前三项，记数列cn=an（cosnπ+bn），求{cn}的前n项和为Kn．
考点：
等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和．.
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式及裂项求和即可求出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可求出．注意对n分奇偶讨论．
解答：
解（1）∵是一个与n无关的常数，∴a1=d．
又，∴a1=1，
∴an=n，，
∴，
∴Tn=…+=…+==．
（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，是等比数列{bn}的前3项，
∴．
∴cn=n（﹣1）n+n×2n﹣1，
记，
则，
Bn=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=（n﹣1）2n+1．
Kn=．
点评：
熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．
19．（15分）已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）若k=1，求|AB|的长度、△ABF1的周长；
（2）若，求k的值．
考点：
直线与圆锥曲线的关系；平行向量与共线向量．.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用椭圆的定义，可求△ABF1的周长，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可求|AB|的长度；
（2）设直线方程为y=k（x﹣1）代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求k的值．
解答：
解：（1）椭圆中a=2，∴△ABF1的周长4a=8，
由联立得7x2﹣8x﹣8=0
∴
（2）设直线方程为y=k（x﹣1）代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∵，∴1﹣x1=2（x2﹣1）﹣﹣③
由①③得，
代入②，∴
点评：
本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．
20．（15分）已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M（2，1），离心率为．如图，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．
（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程；
（2）证明：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．.
专题：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）由e=，设椭圆方程为，将M（2，1）代入，得b2=2，由此能求出椭圆C的方程，从而能够求出直线l的方程．
（2）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设l：y=+m，由，得x2+2mx+2m2﹣4=0，推导出k1+k2==0，由此能证明直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．
解答：
（1）解：∵e=，∴设椭圆方程为，
将M（2，1）代入，得，解得b2=2，
所以椭圆C的方程为，
因此左焦点为（﹣，0），斜率，
所以直线l的方程为y=（x+），即y=．
（2）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
∴k1+k2=
=
=
=，（*）
设l：y=+m，由，得x2+2mx+2m2﹣4=0，
所以x1+x2=﹣2m，，
代入（*）式，得
k1+k2=
=
=0．
所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．
点评：
本题考查直线方程的求法，考查直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形的证明．具体涉及到椭圆的简单性质、直线方程的性质、韦达定理等基本知识点．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
21．（15分）（2011•镇江一模）设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
考点：
利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．.
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）求导，令f′（x）=0得x=或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．
（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．
（3）把连等式分成两个不等式x+m﹣g（x）≥0和f（x）﹣x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．
解答：
解：（1）f′（x）=（x﹣1）2+2x（x﹣1）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），x＞0．令f′（x）=0，得x=或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表
∴当x=时，有极大值f（）=，当x=1时，有极小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，
①0＜a≤时，F（a）=a（a﹣1）2，G（a）=（a﹣1）2≥
特别的，当a=时，有G（a）=，
②当＜a≤1时，F（a）=f（）=，G（a）=≥
特别的，当a=1时，有G（a）=，
由①②知，当0＜a≤1时，函数的最小值为．
（3）由已知得h1（x）=x+m﹣g（x）=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵，
∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0
∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，
∴当h1（1）=m﹣t﹣1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同样，h2（x）=f（x）﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′2（x）=3x（x﹣），
∴x∈（0，）时，h′2（x）＜0，x∈（，+∞），h′2（x）＞0，
∴x=时，h2（x）取极小值，也是最小值，
∴=﹣﹣m≥0，m≤﹣时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤﹣，
∵实数m有且只有一个，∴m=﹣，t=．
点评：
本题了考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0则a是极大值点；a的左侧f'（x）＜0，a的右侧f'（x）＞0则a是极小值点；求F（a）时，要分类讨论，在求参数的范围时，经过两次转化为求函数的最值，使问题得以解决．