2005年广东省高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2005年广东省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 若集合M={x||x|≤2}‎，N={x|x‎2‎-3x=0}‎，则M∩N等于（ ）‎ A.‎{3}‎ B.‎{0}‎ C.‎{0, 2}‎ D.‎‎{0, 3}‎ ‎2. 若‎(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a‎2‎‎+b‎2‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎5‎ ‎3. limx→-3‎x+3‎x‎2‎‎-9‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎-‎‎1‎‎6‎ B.‎0‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎4. 已知高为‎3‎的直棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的底面是边长为‎1‎的正三角形（如图），则三棱锥B‎1‎‎-ABC的体积为（ ）‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎6‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎5. 若焦点在x轴上的椭圆x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎m=1‎的离心率为‎1‎‎2‎，则m=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎ B.‎9‎‎4‎ C.‎8‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎6. 函数f(x)=x‎3‎-3x‎2‎+1‎是减函数的区间为(        )‎ A.‎(2, +∞)‎ B.‎(-∞, 2)‎ C.‎(-∞, 0)‎ D.‎‎(0, 2)‎ ‎7. 在正方体ABCD-A'B'C'D'‎中与AD'‎成‎60‎‎∘‎角的面对角线的条数是（ ）‎ A.‎4‎ B.‎6‎ C.‎8‎ D.‎‎10‎ ‎8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log‎2xy=1‎的概率为(        )‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎5‎‎36‎ C.‎1‎‎12‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)‎和y=g(x)‎的图象关于直线y=x对称．现将y=g(x)‎的图象沿x轴向左平移‎2‎个单位，再沿y轴向上平移‎1‎个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f(x)‎的表达式为(        )‎ A.‎f(x)=‎‎2x+2,-1≤x≤0‎x‎2‎‎+2，04‎时f(n)=‎________（用n表示）‎ 三、解答题（共6小题，15、18题每题12分，16、17、19、20题每题14分，满分80分）‎ ‎15. 化简f(x)=cos(‎6k+1‎‎3‎π+2x)+cos(‎6k-1‎‎3‎π-2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)(x∈R, k∈Z)‎并求函数f(x)‎的值域和最小正周期．‎ ‎16. 如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6‎，PC=AB=10‎，AC=8‎，PB=2‎‎34‎．F是线段PB上一点，CF=‎‎15‎‎17‎‎34‎，点E在线段AB上，且EF⊥PB．‎ ‎（1）证明：PB⊥‎平面CEF；‎ ‎（2）求二面角B-CE-F的大小．‎ ‎17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=‎x‎2‎上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．‎ ‎（1）求‎△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；‎ ‎（2）‎△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．‎ ‎（I）求ξ的分布列；‎ ‎（II）求ξ的数学期望．‎ ‎19. 设函数f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上满足f(2-x)=f(2+x)‎，f(7-x)=f(7+x)‎，且在闭区间‎[0, 7]‎上，只有f(1)=f(3)=0‎．‎ ‎（1）试判断函数y=f(x)‎的奇偶性；‎ ‎（2）试求方程f(x)=0‎在闭区间‎[-2005, 2005]‎上的根的个数，并证明你的结论．‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为‎2‎，宽为‎1‎，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎求折痕的长的最大值．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年广东省高考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎4.‎ ‎【答案】‎ D ‎5.‎ ‎【答案】‎ B ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎7.‎ ‎【答案】‎ C ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎9.‎ ‎【答案】‎ A ‎10.‎ ‎【答案】‎ B 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ ‎(-∞, 0)‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎13.‎ ‎【答案】‎ ‎±‎‎2‎‎2‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎5‎‎,‎‎(n-2)(n+1)‎‎2‎ 三、解答题（共6小题，15、18题每题12分，16、17、19、20题每题14分，满分80分）‎ ‎15.‎ ‎【答案】‎ 解：‎f(x)=cos(2kπ+π‎3‎+2x)+cos(2kπ-π‎3‎-2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)‎ ‎ 7 / 7‎ ‎=cos(π‎3‎+2x)+cos(π‎3‎+2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)‎ ‎=2cos(π‎3‎+2x)+2‎3‎sin(π‎3‎+2x)‎ ‎=4[sinπ‎6‎cos(π‎3‎+2x)+cosπ‎6‎sin(π‎3‎+2x)]‎ ‎=4sin(2x+π‎2‎)=4cos2x 函数f(x)‎的值域是‎[-4, 4]‎，最小正周期是T=‎2π‎2‎=π，‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：∵ PA‎2‎+AC‎2‎=36+64=100=PC‎2‎，‎ ‎∴ ‎△PAC是以‎∠PAC为直角的直角三角形，同理可证：‎△PAB是以‎∠PAB为直角的直角三角形，‎△PCB是以‎∠PCB为直角的直角三角形．‎ 故PA⊥‎平面ABC．‎ 又∵ S‎△PBC‎=‎1‎‎2‎|PC||BC|=‎1‎‎2‎×10×6=30‎．‎ 而‎1‎‎2‎‎|PB||CF|=‎1‎‎2‎×2‎34‎×‎15‎‎17‎‎34‎=30=‎S‎△PBC．‎ 故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，‎ ‎∴ PB⊥‎平面CEF．‎ ‎（2）由（1）知PB⊥CE，PA⊥‎平面ABC，‎ ‎∴ AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE，‎ 在平面PAB内，过F作FF‎1‎垂直AB交AB于F1‎，则FF‎1‎⊥‎平面ABC，‎ EF‎1‎是EF在平面ABC上的射影，‎ ‎∴ EF⊥EC．‎ 故‎∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，tan∠FEB=cot∠PBA=ABAP=‎10‎‎6‎=‎‎5‎‎3‎，‎ 二面角B-CE-F的大小为arctan‎5‎‎3‎．‎ ‎17.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）设‎△AOB的重心为G(x, y)‎，A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎3‎y=‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎‎(1)‎ ‎∵ OA⊥OB∴ kOA‎⋅kOB=-1‎，即x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎，②‎ 又点A，B在抛物线上，有y‎1‎‎=‎x‎1‎‎2‎，y‎2‎‎=‎x‎2‎‎2‎，代入②化简得x‎1‎x‎2‎‎=-1‎ ‎∴ Y=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎=‎1‎‎3‎(x‎1‎‎2‎+x‎2‎‎2‎)=‎1‎‎3‎[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-2x‎1‎x‎2‎]=‎1‎‎3‎×(3x‎)‎‎2‎+‎2‎‎3‎=3x‎2‎+‎‎2‎‎3‎．‎ 所以重心为G的轨迹方程为y=3x‎2‎+‎‎2‎‎3‎．‎ ‎（2）‎S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎|OA||OB|=‎1‎‎2‎‎(x‎1‎‎2‎+y‎1‎‎2‎)(x‎2‎‎2‎+y‎2‎‎2‎)‎=‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎‎+x‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎+x‎2‎‎2‎y‎1‎‎2‎+‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎ 由（1）得S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎+2‎≥‎1‎‎2‎‎2|x‎1‎x‎2‎|+2‎=‎1‎‎2‎×2=1‎ 当且仅当x‎1‎‎2‎‎=‎x‎2‎‎2‎即‎|x‎1‎|=|x‎2‎|=1‎时，等号成立．‎ 所以‎△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值‎1‎．‎ ‎18.‎ ‎【答案】‎ 解：‎(I)ξ的可能取值为：‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎n ξ的分布列为 ‎ 7 / 7‎ ‎(II)ξ的数学希望为Eξ=0×ss+t+1×st‎(s+t‎)‎‎2‎+2×st‎2‎‎(s+t‎)‎‎3‎+...+(n-1)×stn-1‎‎(s+t‎)‎n-1‎+n×tn‎(s+t‎)‎n(1)‎ ts+tEξ=st‎2‎‎(s+t‎)‎‎2‎+...+‎(n-2)stn-1‎‎(s+t‎)‎n-1‎+‎(n-1)stn‎(s+t‎)‎n-1‎+ntn+1‎‎(s+t‎)‎n+1‎(2)‎ ‎（1）‎-(2)‎得Eξ=ts-tns(s+t‎)‎n-1‎-‎(n-1)‎tn‎(s+t‎)‎n-1‎+‎ntn‎(s+t‎)‎n．‎ ‎19.‎ ‎【答案】‎ 解：由f(2-x)=f(2+x)‎f(7-x)=f(7+x)‎‎⇒f(x)=f(4-x)‎f(x)=f(14-x)‎⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)‎，‎ 又f(3)=0‎，而f(7)≠0‎，‎⇒f(-3)=f(7)≠0⇒f(-3)≠f(3)‎，‎f(-3)≠-f(3)‎ 故函数y=f(x)‎是非奇非偶函数；‎ ‎（2）由f(2-x)=f(2+x)‎f(7-x)=f(7+x)‎‎⇒f(x)=f(4-x)‎f(x)=f(14-x)‎⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)‎ 又f(3)=f(1)=0⇒f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0‎ 因为在闭区间‎[0, 7]‎上，只有f(1)=f(3)=0‎，故在‎[4, 7]‎上无零点，‎ 又f(7-x)=f(7+x)‎，故在‎[4, 10]‎上无零点，故在‎[0, 10]‎上仅有两个解 故f(x)‎在‎[0, 10]‎和‎[-10, 0]‎上均有有两个解，‎ 从而可知函数y=f(x)‎在‎[0, 2005]‎上有‎402‎个解，在‎[-2005.0]‎上有‎400‎个解，‎ 所以函数y=f(x)‎在‎[-2005, 2005]‎上有‎802‎个解．‎ ‎20.‎ ‎【答案】‎ ‎(I)(1)‎当k＝‎0‎时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎（2）当k≠0‎时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0