北京市一七一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试卷 19页

北京市第一七一中学2019-2020学年度第一学期高二数学 ‎12月月考考试 一、选择题 ‎1.已知向量，，，则（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 9 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出坐标，按空间向量数量积坐标运算，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎2.设抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由抛物线方程得到，再由抛物线定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：因为抛物线方程，所以，‎ 由抛物线的定义可得：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到焦点距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.‎ ‎3.已知等差数列的前15项和，那么等于　　‎ A. 6 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出，由此能求出的值．‎ ‎【详解】∵等差数列的前15项和，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4.设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】,选A.‎ ‎5.已知椭圆的一个焦点是，那么实数　　‎ A. B. C. 3 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过椭圆的焦点，确定，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．‎ ‎【详解】因为椭圆的一个焦点是，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题．‎ ‎6.已知为数列的前n项和，，，那么　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】时，，，可得：，化为．‎ 时，．‎ 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．‎ 那么．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.“直线平面”是“直线在平面外”的　　‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线l在平面外则直线l与平面平行或相交可判定“直线l与平面平行”与“直线l在平面外”的关系．‎ ‎【详解】“直线l与平面平行”“直线l在平面外”‎ ‎“直线l在平面外”则直线l与平面平行或相交，故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”‎ 故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，熟悉定理是解题的关键，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎8.已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：‎ ‎；；；正确的有　　‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线的方向向量与平面的法向量的关系，即可判断．‎ 详解】∵平面，不重合；‎ 平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；‎ 正确；‎ 直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；‎ 都错误．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】考查了对平面的法向量概念及直线的方向向量概念的理解，属于基础题．‎ ‎9.三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．‎ 详解】‎ 如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则0，，，‎ 平面ABC的一个法向量为0，‎ 设直线PN与平面ABC所成的角为 ‎，‎ 当时，，此时角最大．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎10.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为　　‎ A. 1044 B. ‎1024 ‎C. 1045 D. 1025‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．‎ ‎【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，‎ 即：第一组：，‎ 第二组：，，‎ 第三组：，，，‎ 第k组：，，，，，‎ 根据等比数列前n项和公式，‎ 求得每项和分别为：，，，，，‎ 每项含有的项数为：1，2，3，，k，‎ 总共的项数为，‎ 当时，，‎ 故该数列的前50项和为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎11.设等差数列的前n项和为，若 ，则__________，的最小值为__________．‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). -10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的基本量的运算求出公差，可分析出数列项的符号变化规律，即可求解.‎ ‎【详解】等差数列中,,得,公差,,‎ 由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和的最值，属于中档题.‎ ‎12.已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，转化求解即可．‎ ‎【详解】解：双曲线C与椭圆的焦点相同，即，直线，为双曲线C的一条渐近线，‎ 可得，又，可知，．‎ 则双曲线C的方程是：．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线法方程的求法，考查计算能力．‎ ‎13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为，则抛物线C的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可设抛物线C的方程为，，由已知准线方程为可解得p，则抛物线方程可求．‎ ‎【详解】由题意可设抛物线C的方程为，，‎ 准线方程，，解得．‎ 抛物线C标准方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题 ‎14.正方体的棱长为,若动点在线段上运动, 则的取值范围 是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．‎ 则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴‎ ‎，∴，故答案为．‎ 考点：空间向量数量积的运算.‎ ‎15.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，在中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴及焦距，得到椭圆的离心率．‎ ‎【详解】是正三角形，‎ ‎，‎ 直线AB与椭圆长轴垂直，‎ 是正三角形的高，，‎ 中，设，，‎ ‎，‎ 因此，椭圆的长轴，焦距 椭圆的离心率为．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．‎ ‎16.如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，那么线段PM的长度是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量，代入异面直线所成角公式，可得点M的坐标，问题得解．‎ ‎【详解】‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则0，，0，，2，，‎ ‎，‎ 是棱PB的中点，1，，‎ 设2-m，，则，‎ ‎∴‎ ‎=，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了向量法求解异面直线所成角，要合理建立空间坐标系写出各点的坐标是关键，难度适中．‎ 三、解答题 ‎17.等差数列中，，．‎ Ⅰ求数列的通项公式；‎ Ⅱ若，分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ在等差数列中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；‎ Ⅱ在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【详解】Ⅰ在等差数列中，由，，‎ 得，‎ ‎；‎ Ⅱ在等比数列中，有，，‎ 公比，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，求出基本量是关键，是基础的计算题．‎ ‎18.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点．‎ Ⅰ求抛物线C的标准方程；‎ Ⅱ经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程；‎ Ⅱ写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得的值，结合抛物线定义再求线段AB的长．‎ ‎【详解】Ⅰ由题意设抛物线C的标准方程为，‎ 又经过点，‎ 则，‎ 解得，‎ 抛物线C的标准方程为；‎ Ⅱ抛物线C的标准方程为，焦点，准线方程为；‎ 过焦点且斜率为2的直线l方程为，‎ 由，‎ 消去y，整理得，‎ 由根与系数的关系得，‎ 线段AB的长为．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，将直线方程椭圆方程与联立构建二次方程，运用韦达定理和弦长公式是常用方法，注意焦点弦的公式的应用，是中档题．‎ ‎19.如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，．‎ Ⅰ求证：平面BDE；‎ Ⅱ求直线MN到平面BDE的距离；‎ Ⅲ求二面角的大小．‎ ‎【答案】Ⅰ见解析；Ⅱ；Ⅲ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE．‎ Ⅱ求出0，，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离．‎ Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】Ⅰ在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，‎ M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，‎ ‎．‎ 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ ‎0，，0，，4，，‎ ‎2，，0，，0，，‎ ‎2，，‎ ‎2，，0，，‎ ‎2，，‎ 设平面BDE的法向量y，，‎ 则，取，得0，，‎ ‎，平面BDE，‎ 平面BDE．‎ Ⅱ，0，，‎ 直线MN到平面BDE的距离：‎ ‎．‎ Ⅲ平面BDE的法向量0，，‎ 平面DEP的法向量0，，‎ 设二面角的大小为，‎ 则．‎ ‎．‎ 二面角的大小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d=== 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 q3===8，∴q=2，‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），‎ 数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为；‎ 考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．‎ ‎21.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为，离心率为．‎ Ⅰ求椭圆C的方程；‎ Ⅱ若过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；‎ Ⅲ一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，面积为求证：为定值．‎ ‎【答案】Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ设椭圆方程为，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；‎ Ⅱ设，，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；‎ Ⅲ设，，则，分别讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．‎ ‎【详解】Ⅰ设椭圆方程为，‎ 即有，即，，即，‎ 由，可得，‎ 则椭圆方程为；‎ Ⅱ设，，点为AB的中点，可得 ‎，，‎ 由，，相减可得 ‎，‎ 可得，‎ 即有直线AB的方程为，化为；‎ Ⅲ设，，则，‎ 当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即，，‎ 由，的面积为，可得，‎ 即有，，可得；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 代入椭圆方程，可得，‎ 可得，，‎ ‎，可得，‎ ‎，‎ O到直线l的距离为，‎ 则，‎ 化为，‎ 即有，‎ ‎，‎ 则，‎ 综上可得，为定值5．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎