数学理卷·2017届山东省烟台一中、二中（烟台市）高三上学期期末考试（2017 9页

‎2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测 数学(理科)‎ 注意事项：【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．‎ ‎1．设集合，集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，则a，b，c的大小关系为【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b ‎3．己知函数是偶函数，且，则=‎ A．2 B．－2 C．0 D．1‎ ‎4．已知l为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎5．已知，那么的值为 A． B． C． D．‎ ‎6．若变量满足，实数是2x和y的等差中项，则z的最大值为 A．3 B．6 C．12 D．15‎ ‎7．在ABCD中，已知AB=2，AD=l，∠BAD=60°，若E，F分别是BC，CD的中点， 则=‎ A．2 B．－2 C． D．‎ ‎8．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点是，则直线OM的斜率为 A．2 B． C．1 D．‎ ‎9．过双曲线的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M，若O为坐标原点，△OFM的面积是，则该双曲线的离心率是 A．2 B． C． D．‎ ‎10.对任意实数a，b，定义运算：设，若函数有三个不同零点，则实数k的取值范围是 A． B. C． D．‎ 二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．计算：=‎ ‎12．若抛物线y2=8x的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为 ‎13．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ‎14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 ‎15．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前n项和，且．若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．‎ ‎16．(本小题满分12分)‎ 已知函数满足，且的最小值为．‎ ‎(1)求的值，并求函数的单调递增区间；‎ ‎(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，已知a为△ABC中角A的对边，若g(A)=1，a=4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 如图，四棱锥V-ABCD的底面是直角梯形，VA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，VA=AD=CD=BC=a,点E是棱VA上不同于A，V的点．‎ ‎(1)求证：无论点E在VA如何移动都有AB⊥CE；‎ ‎(2)设二面角A—BE—D的大小为，直线VC与平面ABCD所成的角为，试确定点E的位置使．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ 在数列中，．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设为数列的前n项的和，求数列的前n项和Tn.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满 足关系式，(日产品废品率=)‎ 已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．‎ ‎(1)将该厂日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；‎ ‎(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?‎ ‎20．(本小题满分13分) ‎ 已知椭圆的焦距为，F1，F2为其左右焦点，M为椭圆上一点，且∠F1MF2=60°，‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求证：平行四边形OAPB的面积为定值． ‎ ‎21．(本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)=ln x． ‎ ‎(1)判断函数的单调性； ‎ ‎(2)若对任意的x>0，不等式恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)若，求证：.‎ 高三数学理科参考答案及评分标准 一、选择题 ‎ D A B D B C D A B A 二、填空题 ‎ 11. 12. 13.或 14. 15. 25‎ 三、解答题 ‎16.解：（1） …………………………2分 ‎ 由题意可知，，所以，‎ 故， …………………………4分 即， 而在上单调递增，所以函数的单调递增区间为. ……………6分 ‎（2）由题意可得，，…………………7分 由可得，，而,‎ 可得，， …………………………………………………9分 由余弦定理得：，‎ 即，得，当且仅当时“=”成立，………11分 所以， …………………………………12分 故三角形面积的最大值为.‎ ‎17.解：(1)证明：连接,在直角梯形中，，‎ 所以,所以， ……………1分 又因为平面，平面，所以, ……………2分 而,所以平面， ………………………………………3分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 平面，‎ 所以. ………………………………4分 ‎（2）取中点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设,‎ 可得，‎ 故， …………5分 设为平面的一个法向量，则 ‎，可得，‎ 令可得，， …………………………………………………………6分 又，设为平面的一个法向量，‎ 则，令，可得，…………………………………7分 故，即………………8分 因为为在平面内的射影，所以，在中，, ………………………………………………………9分 所以，所以，，…………………………10分 即，解得或， …………………11分 又，所以，点为的中点.……………………………………12分 ‎18.解：（1）因为，，‎ 所以，‎ 即数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以. ………………………………………3分 ‎ ，且，‎ 所以数列是首项为3，公差为的等差数列，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 故. ………………………………………6分 ‎ （2）由，得，…………………………7分 ‎， ………………………………………9分 ‎ 所以 ……………………10分 故 ‎ ‎ ‎ ………………………12分 ‎19.解：（1）由题意可知，当时，， ………2分 当时，， ……………………4分 所以该厂日利润. …………………………5分 ‎（2）当时，令，解得（删）， ……6分 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 而时，， …………………………………………………………………8分 当时，令，解得，……………………………9分 当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，， …………………………11分 由于，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为千元. ……12分 ‎20.解：（1）由题意可知，，设，‎ 在中，，…………………………………2分 解得，………………………………………………………………………4分 所以 所以椭圆方程为.………………………………………………………5分 ‎（2）联立，消可得， …………6分 ‎，‎ 所以， ‎ 设，则，…………………8分 ‎，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 而，所以…………………9分 因为点在椭圆上，所以，‎ 整理可得：，满足，………………………………………………10分 又 ‎…11分 设到直线的距离为，则，……12分 所以为定值. ……………13分 ‎21. 解：（1）∵，∴，‎ 故 …………………………………………………………2分 因为，所以当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，当，函数单调递增，‎ 当，函数单调递减； ……………………………4分 ‎（2）∵对任意，不等式对任意的，不等式恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，进一步转化为，……5分 设，当时，；当时，，∴当时，． ………………………………………7分 设，当时，，‎ 当时，，所以时，，…………………………9分 即，所以实数的取值范围为………………………………………10分 ‎（3）当时，等价于．………11分 令，设，则， ‎ ‎∵当时，，∴ ………………………13分 ‎∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴． ………………………………………………………14分