数学理卷·2018届福建省长泰一中高二下学期期中考试（2017-04） 8页

（理科）长泰一中 2016/2017 学年下学期 高二期中考数学试卷 一.　选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．用反证法证明“如果 a>b，那么3 a>3 b”假设的内容应是(　　) A.3 a＝3 b B.3 a<3 b C.3 a＝3 b且3 a<3 b D.3 a＝3 b或3 a<3 b 2．如果复数( +i )(1+m i )是实数，则实数 m =( )． A、-1 B、1 C、- D、 3．如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm，则力所做的功为 （ ） A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J 4． 锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是(　　) A．三段论推理　　　B．假言推理 C．完全归纳推理 D．关系推理 5. 若函数 f(x)在 x＝1 处的导数为 3，则 f(x)的解析式可以为 A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 6．(x－ y)10 的展开式中 x6y4 项的系数是 A．840 B． －840 C．210 D．－210 7．如图，由两条曲线 及直线 所围成的图形的面积为 （ ） A． B． C． D． 8．函数 y＝2－x2－x3 的极值情况是(　　) A．既有极大值也有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．既无极大值也无极小值 D．有极大值，没有极小值 9．从 7 人中选派 5 人到 10 个不同岗位的 5 个中参加工作，则不同的选派方法有 22 4, xyxy −=−= 1−=y 2m 2 2 2 3 2 3 4 8 3 4 3 （ ） A、 种 B、 种 C、 种 D、 10．以 1，2，3，…，9 这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数， 则可以得到不同的对数值的个数为 （ ） A、64 B、56 C、53 D、51 11．四面体的顶点和各棱中点共 10 个点, 在其中取 4 个不共面的点, 不同的取法有 （ ) A． 150 种 B． 147 种 C． 144 种 D． 141 种 12．已知对任意实数 ，有 ， 且 时， ，则 时（ ） A． B． C． D． 二、填空题：(每小题 4 分，共 16 分) 13．已知函数 f(x)＝x2＋3，则 f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________． 14．某单位在国庆七天假期里，安排甲、乙、丙三人值班，每天 1 人，每人至少 值 2 天，则不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 15． x ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x− = − − =， 0x > ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >， 0x < ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> <， ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >， ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< >， ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< <， 2 2 0 (3 ) 10,x k dx k+ = =∫ 则 5 5 5 10 5 7 AAC 5 5 5 10 5 7 ACA 5 7 5 10CC 5 10 5 7 AC 16．)观察下列等式： ①cos2α＝2cos2α－1； ②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m+n＋p＝________. 三、解答题： 17.(10 分)在二项式(1-2x)9 的展开式中， （1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和。 18. (12 分)有 7 个人按如下各种方式排队照相，有多少种排法？ 　（1）甲必须站在正中间； 　（2）甲乙必须站在两端； 　（3）甲乙不能站在两端； 　（4）甲乙两人要站在一起； 19. (12 分)在正方体 ABCD- 中，E、F 分别为棱 和 的中点，M 为棱 DC 的中点。 　（1）求证平面 平面 ADE 　（2）求证 平面 ADE 　(3) 求二面角 的余弦值 20． (10 分)用数学归纳法证明：当 n 为正整数时，13＋23＋33＋……＋n3＝ ． 21.（13 分）已知双曲线 C 的方程记为 （a>0,b>0）,点 P( ,0)在双曲线上。 22.　　　离心率为 e=2. （1）求双曲线方程； 1111 DCBA 1BB 1DD //11CFB ⊥MD1 ADEA −−1 12 2 2 2 =− b y a x 3 2 2( 1) 4 n n + （2）设双曲线 C 的虚轴的上、下端点分别为 (如图) 点 A、B 在双曲线上，且 当 时，求直线 AB 的方程。 22. (13 分 ) 已 知 函 数 图 象 上 一 点 处 的 切 线 方 程 为 ． (Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中 为自 然对数的底数）； （ Ⅲ ） 令 ， 若 的 图 象 与 轴 交 于 ， ( 其 中 )， 的中点为 ，求证： 在 处的导数 ． 参考答案 一.　选择题（每小题 5 分，共 60 分） 21, BB BBAB 22 λ= 011 =⋅ BBAB 2( ) lnf x a x bx= − (2, (2))P f 22ln23 ++−= xy ba, ( ) 0f x m+ = 1[ , ]ee m e ( ) ( )g x f x kx= − ( )g x x 1( ,0)A x 2( ,0)B x 1 2x x< AB 0( ,0)C x ( )g x 0x / 0( ) 0g x ≠ xo 1B 2B y 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C A B B A D C D A 二、填空题：(每小题 4 分，共 16 分) 13、4x－y－1＝0； 14、630 15、 1 ； 16、162 18 （I）甲站在正中间，其他 6 人可以任意站，共有 （II）甲乙站在两端有 种；其他 5 人站里面有 ，所以共有 种 （III）在甲乙以外的其他 5 人中取出 2 人来站两端有 种，剩下的 5 人站里面有 ，共 有 种 （IV）将甲乙当成一个整体和其他 5 人共当成 6 个来排有 种，另外甲乙可以掉换位置有 种，所以共有 种 19 证明：（1） 又 且 为平行四边形 又 平面 (1) 建立如图所示坐标系，正方体棱长为 2. A(2,0,0) D(0,0,0) C(0,2,0) (0,0,2) M(0,1,0) E(2,2,1) 既 平面 ADE (3) 11// CBAD DFEB //1 DFEB =1 1FDEB∴ ∴ BFED //1 DADDEBCBFB ==  ,1111 ∴ ADECFB 平面//11 1D ∴ )2,1,0(1 −=MD )1,2,2(=DE )0,0,2(=DA MD1 0=⋅ DE MD1 0=⋅ DA ∴ ⊥MD1 DE ⊥MD1 DA ∴ ⊥MD1  )2,0,2(1 =DA )1,2,2(=DE 6 6 720A = 2 2A 5 5A 2 5 2 5A 240A⋅ = 2 5A 5 5A 2 5 5 5A 2400A⋅ = 6 6A 2 2A 6 2 6 2A 1440A⋅ = 设平面 A DE 的法向量 既 而平面 ADE 的法向量为 即二面角的的余弦值为 20 证明：（1）当 n＝1 时，左边＝1，右边＝ ＝1， ∴等式成立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 （2）假设当 n＝k 时，等式成立，即 13＋23＋33＋……＋k3＝ ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 那么，当 n＝k＋1 时，有 13＋23＋33＋……＋k3＋(k＋1)3＝ ＋(k＋1)3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ＝(k＋1)2( ＋k＋1)＝(k＋1)2 ＝ ＝ ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 根据（1）和（2），可知对 n∈N*等式成立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 21.（13 分） 解：（1）由已知 方程为 （2） A,B 三点共线，设方程为 y=kx-3 由 得 1 ),,1( 00 zyn =    =++ =+⇔    =⋅ =⋅ 022 022 0 0 00 001 zy zy DEn DAn  1,2 1 00 −=−=∴ zy )1,2 1,1( −−=n )2,1,0(1 −=MD 5 5,cos 1 1 1 = ⋅ ⋅=<∴ MDn MDnMDn 5 5 322,3 =⇒== cea 9222 =−=∴ acb ∴ 193 22 =− yx BBABBB 2221 ),3,0(),3,0( λ=− ∴ 2B    =− −= 193 3 22 yx kxy )(0186)3( 22 ∗=−+− kxxk 2 21 2 4 × 2 2( 1) 4 k k + 2 2( 1) 4 k k + 2 4 k 2 4 4 4 k k+ + 2 2( 1) ( 2) 4 k k+ + 2( 1)[( 1) 1] 4 k k+ + + 设 ，在 中 所求 AB 直线为：y= 22 解：（Ⅰ） ， ， ． ∴ ，且 ． …………………… 2 分 解得 ． …………………… 3 分 （Ⅱ） ，令 ， 则 ，令 ，得 （ 舍去）． 在 内，当 时， ， ∴ 是增函数； 当 时， ， ∴ 是减函数 …………………… 5 分 则方程 在 内有两个不等实根的充要条件是 …………6 分 即 ． ………………………………… 8 分 （Ⅲ） ， ． ),(),,( 2211 yxByxA 99)(3,3 186)( 3 18,3 6,3 2121 2 2122121 221221 =++−=−=−+=+∴ −=−=+∴±≠ xxkxxkyykxxkyy kxxk kxxk ∴=⋅ ,021 BBAB 09)(3 212121 =++−+ yyyyxx 5±=∴k )(∗ 0>∆ ∴ 35 −± x ( ) 2af x bxx ′ = − ( )2 42 af b′ = − ( )2 ln 2 4f a b= − 4 32 a b− = − ln 2 4 6 2ln 2 2a b− = − + + 2, 1a b= = ( ) 22lnf x x x= − ( ) 2( ) 2lnh x f x m x x m= + = − + ( ) 2 / 2 2(1 )2 xh x xx x −= − = ( )/ 0h x = 1x = 1x = − 1[ , ]ee 1[ , 1)x e ∈ / ( ) 0h x > ( )h x [1, ]x e∈ / ( ) 0h x < ( )h x ( ) 0h x = 1[ , ]ee 1( ) 0 , (1) 0 , ( ) 0 . h e h h e  ≤  >  ≤  2 21 2m e < ≤ + 2( ) 2lng x x x kx= − − / 2( ) 2g x x kx = − − 假设结论成立，则有 ……………………………… 9 分 ①－②，得 ． ∴ ． …………………………………………………………… 10 分 由④得 ，∴ …………………… 11 分 即 ，即 ．⑤ 令 ， （ )， …………………………………… 12 分 则 ＞0．∴ 在 上增函数， ∴ ， ……… 13 分 ∴⑤式不成立，与假设矛盾． ∴ ． …………………………………………… 14 分 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 0 2ln 0, 2ln 0, 2 , 2 2 0. x x kx x x kx x x x x kx  − − =  − − = + =   − − = ① ② ③ ④ 2 21 1 2 1 2 2 2ln ( ) ( ) 0x x x k x xx − − − − = 1 2 0 1 2 ln 2 2 x xk xx x = −− 0 0 2 2k xx = − 1 2 1 2 0 ln 1 x x x x x =− 1 2 1 2 1 2 ln 2 x x x x x x =− + 1 1 2 12 2 2 2 ln 1 x x x xx x − = + 1 2 xt x = 2 2( ) ln 1 tu t t t −= − + 0 1t< < 2 2 ( 1)( ) ( 1) tu t t t −′ = + ( )u t 0 1t< < ( ) (1) 0u t u< = ( )0 0g x′ ≠