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- 2024-03-23 发布
湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中所有元素的和为（ ）
A．2 B．3 C. 5 D．6
2．已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为（ ）
A．3 B．3.15 C.3.25 D．3.5
4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A． B． C. D．
5.已知平面平面，则“直线平面”是“直线平面”的（ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A．4 B． C. D．
7．设点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的，依次输入的为3， 3， 7，则输出的（ ）
A．9 B．21 C. 25 D．34
9．已知函数 (其中且)，若，则在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C. D．
10.已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上实根的个数是（ ）
A．7 B．8 C. 9 D．10
11. 在中，角的对边分别是，若，则的大小是（ ）
A． B． C. D．
12.椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数，且在处的切线与直线垂直，则 ．
14. 在平行四边形中，，则 ．
15.若，且，则 ．
16.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
18.如图，在矩形中，，平面，， 为的中点.
（1）求证：平面；
（2）记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求.
19. 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000
人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
乙校:
（1）计算的值；
（2）若规定考试成绩在内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；
（3）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附：；.
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与直线相交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：与的面积之比为定值.
21. 已知函数且.
（1）若函数区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设函数，为自然对数的底数.若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDAAD 6-10: CBCBC 11、12：CA
二、填空题
13. 1 14. 15. 16.
三、解答题
17. 设等差数列的公差为，则，解得，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，
令，由函数的图象关于点对称及其单调性知，
，，∴，
∴.
18. （1）连接，∵，∴四边形为平行四边形，∴，
在矩形中，，∴，∴四边形为平行四边形，
∴.∴平面.
（2）连接，由题意知，，
∴.
19.（1）由题意知，甲校抽取人，乙校抽取人，
∴.
（2）由题意知，乙校优秀率为.
（3）
，
∴有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
20. （1）由题意知，，∴，∴抛物线的方程为.
（2）证明：当直线垂直于轴时，与相似，∴.
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.
，
联立，得，
∴，且.
∵，
∴.
综上所述，.
21. （1）解法一：当时，函数在上单调递增，符合题意；
当时，令，解得，
∵函数在上单调递增，∴，则.
综上所述，实数的取值范围是.
解法二：∵对恒成立，
∴当时，恒成立，符合题意；
由时，，即，∴.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）∵存在，使不等式成立，
∴存在，使成立.
令，∴，，
由（1）知，当时，在上单调递增，
∴，∴在上恒成立.
∴在上单调递增，∴，
∴，即实数的取值范围为.
22. （1）曲线的参数方程为 (为参数)，
曲线的直角坐标方程为，即.
（2）由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆.设，
则
.
当时，取得最大值.
又，当且仅当三点共线，即在线段上时等号成立.
∴.
23．（1）原不等式等价于或或，
解得或或.
∴不等式的解集为或.
（2）不等式恒成立等价于，
即，
∵，
∴，则，解得，
∴实数的取值范围是.