广西天等县高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 10页

‎2020年春季期期中考试高二年级 数学（理）试题 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将答案正确填写在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：共12题，每小题5分，共60分。在给出的四个选项中只有一个是符合题意的。‎ ‎1.复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若复数（为虚数单位），其中是实数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在直角坐标系中，曲线的方程为：，直线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.极坐标方程表示的图形是（ ）‎ A.两个圆 B.一个圆和一条直线 ‎ C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎10.函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为,则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若复数（为虚数单位），则的共轭复数______________.‎ ‎14.在极坐标系中，已知两点，，则_____________.‎ ‎15.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.‎ ‎16.如果圆柱轴截面的周长（单位：）为定值，则体积最大值为____________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明及证明过程。‎ ‎17.（10分）设，复数（为虚数单位）是纯虚数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若是方程的一个根，求实数，的值.‎ ‎18.（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（1）求与的极坐标方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.‎ ‎19.（12分）在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数），曲线：过点.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若和交于两点，求的值.‎ ‎20.（12分）已知.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.‎ ‎21.（12分）已知曲线的参数方程为（是参数），点是曲线上的动点.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知点是直线上的动点，若之间的距离最小值为，求实数的值.‎ ‎22.（12分）已知函数，；.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；‎ ‎2020年春季期期中考试高二年级 数学（理）答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B D A C D C B A D 二、 填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意得......................................2分 解得，............................................... ........4分 所以................................................................5分 由（1）知，是方程的一个根，‎ 所以...........................................6分 即..................................................8分 则，解得...............................................10分 ‎18．解：（1）由消去，得....................1分 根据...........................................................2分 的极坐标方程为................................................4分 的极坐标方程为................................................6分 ‎（2）射线与的交点的极径为...........................8分 射线与的交点的极径为........... ....................10分 所以.........................................................12分 ‎19.解：（1）由曲线：过点，有，解得............2分 所以曲线的方程为................................................... ...3分 ‎（2）曲线的参数方程可化为（为参数）............................5分 代入曲线方程得...........................................7分 设所对应的曲线的参数为，‎ 所以，....................................................9分 则...................................................................10分 所以...............................12分 ‎20.解：（1） ................................1分 令，解得或 .................................................2分 ‎ 令，解得；令，解得......................4分 则的单调递增区间为 单调递减区间为 和..............5分 所以当时，取得极小值.....................................6分 ‎ 当时，取得极大值. .............................................7分 ‎ ‎（2）令，则，解得...............................8分 ‎①当时，，则............................................10分 ‎②当时，，则 所以当直线是函数图象的一条切线时，或................12分 ‎21.解：（1）由得..........................................1分 又...............................................................2分 消去参数，得...................................................... ..4分 ‎（2）点是曲线上的动点，设...................................5分 之间的距离最小值即为点到直线的距离最小值............................6分 根据点到直线的距离公式，点到直线的距离 ‎................8分 因为，所以当时，取得最小值，即.................9分 又之间的距离最小值为，则..........................10分 解得 .故的值为..........................................12分 ‎22．解：（1）......................................... ......1分 当时，；当时，..................................2分 所以函数在上单调递增，在上单调递减............................3分 所以，即的最大值为........................................4分 ‎（2），总存在使得成立，等价于...............................................................5分 由（1）知 当时，在上单调递增，恒为正，符合题意..................6分 当时，，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增............................7分 若，即时，，所以，即；........8分 若，即时，在上单调递减，在上单调递增，而，在为正，在为负，所以；....10分 若，即时，在上单调递减，不符合题意；.....11分 综上，的取值范围是........................................................12分