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- 2024-03-20 发布
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专题复习检测
A卷
1.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,那么( )
A.a1a8>a4a5 B.a1a8a4+a5 D.a1a8=a4a5
【答案】B
【解析】取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1×8<4×5成立,即a1a80”是真命题,可得m的取值范围是(-∞,1),故a=1.
5.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪{2}
C.(-∞,1) D.(-∞,2)
【答案】B
【解析】由于|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,等价于4≥a+,得a<0 或解得a<0,或a=2.故选B.
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.
【答案】2
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线AB的方程为y=x-,代入y2=2px消去y后,得x2-3px+=0,故x1+x2=3p.又|AB|=x1+x2+p=8,解得p=2.
7.(2019年宁夏石嘴山三中二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A的大小为________.
【答案】
【解析】由sin C=2sin B及正弦定理,得c=2b.由a2-b2=bc,得a2=7b2.再由余弦定理,得cos A===,故A=.
8.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a=________.
【答案】
【解析】若a>1,有a2=4,a-1=m,故a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不合题意;若00).
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1或x=3时,φ′(x)=0.
∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln 3-15.
∵当x充分接近0时,φ(x)<0,当x充分大时,φ(x)>0,
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需即7a1,满足条件.
综上,a的取值范围是[-9,+∞).
B卷
11.过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】因为双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时,过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求;当直线l与实轴垂直时,有3-=1,解得y=2或y=-2,所以此时直线AB的长度是4,即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条.综上,有3条直线满足|AB|=4.
12.某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的材料利用率为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由三视图知该几何体是一个底面半径为r=1,母线长为l=3的圆锥,则圆锥的高为h==2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1在圆锥的底面上,过平面AA1C1C的轴截面如图所示(平面转化很重要,这是由形到数的关键所在).设正方体的棱长为x,则有=,即=,解得x=.所以原工件的材料利用率为==.
13.若函数f(x)=x+asin x在R内单调递增,则实数a的取值范围为________.
【答案】[-1,1]
【解析】∵f′(x)=1+acos x,∴要使函数f(x)=x+asin x在R内单调递增,则f′(x)=1+acos x≥0对任意实数x都成立.∵-1≤cos x≤1,∴-1≤a≤1.
14.已知函数f(x)=.
(1)求证:0<f(x)≤1;
(2)当x>0时,不等式f(x)>恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)证明:设g(x)=xex+1,则g′(x)=(x+1)ex.
当x∈(-∞,-1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(-1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)≥g(-1)=1-e-1>0.
又ex>0,故f(x)>0.
f′(x)=.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)≤f(0)=1.
综上,有0<f(x)≤1.
(2)①若a=0,则当x>0时,f(x)<1=,不等式不成立.
②若a<0,则当0<x<时,>1,不等式不成立.
③若a>0,则f(x)>等价于(ax2-x+1)ex-1>0.(*)
设h(x)=(ax2-x+1)ex-1,则h′(x)=x(ax+2a-1)ex.
若a≥,则当x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,h(x)>h(0)=0.
若0
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