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- 2024-03-19 发布
芜湖市2017-2018学年度第一学期期末学习质量测评
高三数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下图是一个算法的程序框图，当输入值为10时，则其输出的结果是（ ）
A． B．2 C． D．4
4.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）
A．96种 B．84种 C.78种 D．16种
5.已知，，，则的大小为（ ）
A． B． C. D．
6.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”
中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A． B． C. D．
7.“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.已知实数满足条件，令，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
9.若，则（ ）
A． B． C. D．
10.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设
为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，且，则 ．
14.已知抛物线的弦过焦点，若，且中点的横坐标为3，则抛物线的方程为 ．
15.将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则 ．
16.四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的外接球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的首项，是数列的前项和，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，求证：.
18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布，数学成绩的频数分布直方图如下：
（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；
（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望.
（附参考公式）若，则，
19.在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图所示的五棱锥，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.
20.在中，，且，若以为左右焦点的椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）设过右焦点且斜率为的动直线与相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.已知函数（为常数）.
（1）求函数在的最小值；
（2）设是函数的两个零点，且，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BBDBC 6-10:DAACC 11、12：CB
二、填空题
13. 14. 15.3 16.
三、解答题
17.解：（1），①
当时，，②
①-②得，，
所以.
故是首项为的常数列，所以.
，
∴.
18.解：（1）数学成绩的平均分为
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些.
（2）语文成绩优秀的概率为，
数学成绩优秀的概率为，
语文成绩优秀人数为人，数学成绩优秀人数为人
（3）语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，所有可能的取值为0，1，2，3，
，
，
的分布列为
数学期望.
19.解：（1）因为点分别是边的中点，所有，
因为菱形的对角线互相垂直，所以，故.
翻折后即有
因为平面，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）分别延长和相交于点，连，设，连接，∵
∴为等边三角形.∴，，，，在中，，在中，，∴，
∵，∴平面，
又，∴平面，
过点做，连，则为平面与平面所成二面角的平面角.
在中，，，，∴，
∴，
∴.
20.解：（1）在中，由余弦定理
.
又，∴，
代入上式得，即椭圆长轴，焦距，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线方程，联立，
得，，
设交点，，∴，.
假设轴上存在定点，使得为定值，
∴
要使为定值，则的值与无关，∴，
解得，此时为定值，定点为.
21.解：（1），的定义域为，且，∴
当时，，所以在递增；
当时，，所以在递减，
且，，因，
函数在的最小值为.
由（1）知满足，且，，
，由题意可知
又由（1）可知在递减，故，所以，，
则
令，
则，
当时，是减函数，所以
因，
即，所以当时，，即
因为，，在上单调递增，所以，故.
22.解：（1）将，代入直线方程得，
由可得，
曲线的直角坐标方程为.
（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，
∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得
，设点对应的参数分别为.
由一元二次方程的根与系数的关系知，，
∴.
23.解：（1）不等式可化为：①
当时，①式为，解得；
当时，①式为，解得；
当时，①式为，无解.
综上所述，不等式的解集为.
（2）解：
令
∴，要使不等式恒成立，只需，即
∴实数取值范围是.