高科数学专题复习课件：高考专题突破三　高考中的数列问题 68页

高考专题突破三 高考中的数列问题 考点自测　 课时作业 题型分类　深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2017·广州质检)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比 数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为 答案 解析 答案 解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. 3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比 数列{an}的公比为________. 答案 解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)， 即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝ . 4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1 ， 则Sn＝_________. 答案 解析 由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1， 答案 解析4 ∴an＝－2an－1， 又a1＝－1， ∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，∴an＝－(－2)n－1， 由10，n∈N*. (1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； 题型一　等差数列、等比数列的综合问题 解答 由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1， n≥1. 又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立. 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列. 从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3， 所以a3＝2a2，故q＝2. 所以an＝2n－1(n∈N*). 解答 由(1)可知，an＝qn－1， ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)] 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求 和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题 的顺序. (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公 比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一 项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是 巨大的. 思维升华 跟踪训练1　已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为 Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 解答 设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3， (2)设Tn＝Sn－ (n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. 解答 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小， 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大， 题型二　数列的通项与求和 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； 证明 ∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ② ②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1. 又cn＝an－1， 解答(2)求数列{bn}的通项公式. ∴当n≥2时，bn＝an－an－1 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是 很重要的解题信息. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组 求和法，裂项求和法等. 思维升华 跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝ ，an＋1＝ an. (1)证明：数列{ }是等比数列； 证明 (2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. 解答 题型三　数列与其他知识的交汇 解答 命题点1　数列与函数的交汇 f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n， 16n2a－4nb＝0， 又f′(x)＝x＋2n， 当n＝1时，a1＝4也符合， 解答 ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn 解答 命题点2　数列与不等式的交汇 令n＝1代入得a1＝2(负值舍去). 解答(2)求数列{an}的通项公式； 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0. 又已知数列{an}各项均为正数，故Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 当n＝1时，a1＝2也满足上式， ∴an＝2n，n∈N*. 证明 ∵k∈N*，4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0， ∴4k2＋2k≥3k2＋3k， ∴不等式成立. 命题点3　数列应用题 例5　(2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该 企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增 长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一 年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； 解答 由题意，得 a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企 业每年上缴资金d的值(用m表示). 解答 ＝… 整理，得 由题意，得am＝4 000， 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题 ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象 研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的 范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数 的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往 会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决. 思维升华 (2)数列与不等式的交汇问题 ①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的 不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； ②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较. (3)数列应用题 ①根据题意，确定数列模型； ②准确求解模型； ③问题作答，不要忽视问题的实际意义. 跟踪训练3　设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象 上(n∈N*). (1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； 解答 由已知，得b7＝ ，b8＝ ＝4b7， 有 ＝4× ＝ . 解得d＝a8－a7＝2. 解答 f′(x)＝2xln 2，f′(a2)＝ ln 2， 故函数 f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－ ＝ ln 2(x－a2)， 解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1. 从而an＝n，bn＝2n. 课时作业 1.(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9， a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； 解答 1 2 3 4 5 设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q， ∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1， 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3， …). 1 2 3 4 5 解答(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和. 设数列{cn}的前n项和为Sn. ∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， ∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1 1 2 3 4 5 2.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； 解答 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 1 2 3 4 5 (2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数， 如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解答 1 2 3 4 5 所以数列{bn}的前10项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 1 2 3 4 5 3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*). (1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3； 解答 在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1,2,3， 1 2 3 4 5 (2)求证：数列{an＋ (－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式. 证明 1 2 3 4 5 由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)，得 Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减，得 an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)， 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.已知正项数列{an}中，a1＝1，点( ，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的 图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解答 1 2 3 4 5 ∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列. ∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1) ×1＝n， ∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1， 两式相减，得bn＋1＝－bn＋1＋bn， 由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1. 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8 ＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式； 解答 1 2 3 4 5 又an>0，∴a3＋a5＝5， 又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0,1)， 1 2 3 4 5 (2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn； 解答 ∵bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1， b1＝log2a1＝log216＝log224＝4， ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5