2019-2020学年河北省鹿泉第一中学高二9月月考数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年河北省鹿泉第一中学高二9月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已如向量，且与互相垂直，则    ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，，因为，所以，则，即，故选 ‎2．设向量，则向量的夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由向量，可得且，所以向量的夹角的余弦值为，故选D．‎ ‎【考点】空间向量的夹角．‎ ‎3．已知点，若则点C的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】， ，故选B.‎ ‎4．若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）‎ A． B． C． D．A、C都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，可得，即可判断出结论。‎ ‎【详解】‎ 解: 直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为 则，，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的共线定理，属于基础题。‎ ‎5．如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，可得，由，可得，‎ 可得，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 解：，，，，‎ ‎，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的加减运算，属于基础题。‎ ‎6．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：=‎ ‎，则（）‎ A．四点O,A,B,C必共面 B．四点P、A、B、C必共面 C．四点O、P、B、C必共面 D．五点O、P、A、B,C必共面 ‎【答案】B ‎【解析】由共面向量基本定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：由=，，可得四点P、A、B、C必共面．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了共面向量基本定理，属于基础题．‎ ‎7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）‎ A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意,甲组数据为56,62,65,,74,乙组数据为59,61,67,,78.要使两组数据的中位数相等,则,所以,又平均数相同,则 ‎,‎ 解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示.缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐.‎ ‎8．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 ‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 ‎ A．05 B．09 C．07 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．己知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：‎ ‎（单位：万元）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（单位：万元）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎35‎ 若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为 A．42万元 B．45万元 C．48万元 D．51万元 ‎【答案】C ‎【解析】根据上表中的数据，求得样本点中心，代入回归直线的方程，求得的值，得到回归直线的方程，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据上表中的数据，可得，，即回归方程经过样本点中心，‎ 又由线性回归方程为，所以，解得，‎ 所以，当时，，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程的性质，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎10．一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数和方差分别是（）‎ A．11,45 B．5,45 C．3,5 D．5,15‎ ‎【答案】A ‎【解析】若X1，X2，…，Xn的平均数是，方差是，则数据的平均数为，方差为．‎ ‎【详解】‎ 解：∵一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，‎ ‎∴数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数为3×3＋2＝11，‎ 方差为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．‎ ‎11．如图在一个的二面角的棱上有两个点，，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得，利用数量积的性质即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ ‎，；‎ 又与分别所在面的二面角为，‎ ‎，即 ‎；‎ 由于，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的长为2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在立体几何中的应用，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键，属于中档题。‎ ‎12．已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由点Q在直线OP上运动，可得存在实数λ使得（λ，λ，2λ），利用数量积可得，再利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得（λ，λ，2λ），‎ ‎∴，．‎ ‎∴（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）‎ ‎＝6λ2﹣16λ+10＝6，‎ 当且仅当时，上式取得最小值，‎ ‎∴Q．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握向量共线定理、数量积运算及二次函数的最值等是解题的关键，考查学生推理能力与计算能力．‎ 二、填空题 ‎13．某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人．则该校高二年级学生人数为_________．‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】由题意得高二年级应抽取人，则高二年级学生人数为，故答案为.‎ 点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，根据高一年级抽人，高三年级抽人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有名学生，算出高二年级学生人数.‎ ‎14．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 存在实属使得 解得：。故答案为：4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理，属于基础题．‎ ‎15．已知，，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用数量积运算性质以及模的计算公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎，，且 ‎，解得，‎ ‎。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算性质，模的计算公式，属于基础题。‎ ‎16．已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为______．‎ ‎【答案】（1，2，3）‎ ‎【解析】由已知可得=（+）-（-）+3，去括号合并同类项后可得答案。‎ ‎【详解】‎ 解：∵向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）‎ ‎∴向量=（+）-（-）+3=+2+3，‎ 故在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），‎ 故答案为：（1，2，3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是空间向量的基本定理及其意义，空间向量的坐标，难度不大，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．如图，在棱长为3的正方体中，．‎ 求两条异面直线与所成角的余弦值；‎ 求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．‎ ‎（2）设出平面BED1F的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：‎ 则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）‎ ‎∴=（-3，3，3），=（3，0，-1）‎ ‎∴cosθ===-‎ 则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为 ‎（2）B（3，3，0），=（0，-3，2），=（3，0，-1）‎ 设平面BED1F的一个法向量为=（x，y，z）‎ 由得 令x=1，则=（1，2，3）‎ 则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为 ‎||==‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．‎ ‎18．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.‎ ‎（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出的坐标，由向量积的运算易得；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）依题意有，，，‎ 则，，，所以，，‎ 即⊥，⊥.且,‎ 故⊥平面.‎ 又平面，所以平面⊥平面.‎ ‎（II）依题意有，=，=.‎ 设是平面的法向量，则即 因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以,‎ 且由图形可知二面角为钝角 故二面角的余弦值为 ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角 ‎19．如图，正三棱柱的所有棱长均为2， ， 分别为和的中点．‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)证明线面垂直，一般方法为利用线面垂直的判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，可从两个方面出发，一是利用面面垂直得线面垂直，再得线线垂直，二是利用平几知识，如本题中正方形有关性质，(2)求点到直线距离，一般方法为利用等体积法，即根据可得分别求出两个三角形面积代入可得点到平面的距离.‎ 试题解析：（I）证明：由知,又平面平面，所以平面,而平面 ，∴,在正方形中，由分别是和的中点知,而，∴平面. ‎ ‎ (Ⅱ)解法1: 由（I）平面,过点作， 交和分别于点和,则平面,即的长为到平面的距离， 在正方形中,易知， ,即,得，故到平面的距离为. ‎ 解法2：如图，连接，在三棱锥中，设到平面的距离为，则，将， ‎ 代入得，得， 故到平面的距离为.‎ ‎20．节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．‎ 求直方图中x的值；‎ 求月平均用电量的众数和中位数；‎ 估计用电量落在中的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）5；（2）众数为，中位数为224；（3）.‎ ‎【解析】由频率分布直方图中所有的小长方形的面积和为1得到关于的方程，解方程可得所求；由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得结果；分析可得中位数在内，设中位数为a，解方程 可得a的值，即为中位数；月平均用电量在中的概率是．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图的性质可得，‎ ‎ ，‎ 解得5．‎ 由频率分布直方图可知，最高矩形的数据组为，‎ 故众数为．‎ 的频率之和为 ，‎ 的频率之和为 ，‎ ‎∴中位数在设中位数为y，‎ 则 ‎ 解得 故中位数为224．‎ ‎ 由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是 ‎．‎ 点睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征：(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．‎ ‎21．某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：‎ ‎（Ⅰ）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；‎ ‎（Ⅱ）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；‎ 数学成绩分组 ‎[50，60﹚‎ ‎[60，70﹚‎ ‎[70，80﹚‎ ‎[80，90﹚‎ ‎[90，100﹚‎ ‎[100，110﹚‎ ‎[110，120]‎ 频数 ‎（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为xi，yi（i=1，2，3，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=86，=64，（xi-）（yi-）=4698，（xi-）2=5524，≈0.85．求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．‎ 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）频数分布表，分布图见解析（Ⅲ）y=0.85x-9.1，预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分 ‎【解析】（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶填写；‎ ‎（Ⅱ）根据数学成绩的茎叶图计算各组的频数，并计算频率与组距的商作为直方图小矩形的高；‎ ‎（Ⅲ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程，利用回归方程进行估计．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）物理成绩的茎叶图如图所示；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）数学成绩的频数分布表；‎ 数学成绩分组 ‎[50，60﹚‎ ‎[60，70﹚‎ ‎[70，80﹚‎ ‎[80，90﹚‎ ‎[90，100﹚‎ ‎[100，110﹚‎ ‎[110，120]‎ 频数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64-0.85×86=-9.1，‎ ‎∴y=0.85x-9.1，‎ ‎∴x=100时，y=75.9≈76，‎ 预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图，频率分布直方图的制作，线性回归方程的求解，属于中档题．‎ ‎22．如图所示，直角梯形ABCD中，，，‎ ‎，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．‎ ‎(1)求证：平面ABE；‎ ‎(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）（III）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，且，据此有，则平面．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得平面的法向量，结合(Ⅰ)的结论可得，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，则，而平面的法向量，据此可得，解方程有或．据此计算可得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，∴不妨设，又，‎ ‎∴，∴，又∵平面，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，‎ ‎∴不妨设，∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设 ，，∴，‎ ‎∴，又∵平面的法向量，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ 当时，，∴；当时，，∴．‎ 综上，．‎