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- 2024-03-16 发布
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2016-2017学年湖南省株洲四中高三(上)第二次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角θ的终边过点(4,﹣3),则cosθ=( )
A. B. C. D.
2.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )
A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2}
C.{1,2,3} D.{1,2}
3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin(2x﹣) B.y=2sin(2x﹣) C.y=2sin(x+) D.y=2sin(x+)
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
A.12π B.π C.8π D.4π
5.设向量,足||=||=1,则|+2|的最大值为( )
A. B. C.2 D.3
6.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
8.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
9.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
10.函数f(x)=x3+ax2+3x﹣9已知f(x)在x=﹣3时取得极值,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.函数的图象的最低点坐标是( )
A.(0,2) B.不存在 C.(1,2) D.(1,﹣2)
12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
二.填空题:共4小题,每小题5分.
13.已知向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,则m= .
14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若向量=a100+a101,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200等于 .
16.若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为 .
三.解答题(共70分,第17题10分,其余各题12分)
17.设f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.
18.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
19.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(Ⅰ)求证:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.
21.已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
22.设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.
(Ⅰ)证明:函数Fn(x)=fn(x)﹣2在(,1)内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=+x;
(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.
2016-2017学年湖南省株洲四中高三(上)第二次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角θ的终边过点(4,﹣3),则cosθ=( )
A. B. C. D.
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】根据题意,求出点到坐标原点的距离,利用三角函数的定义求出cosθ的值.
【解答】解:已知角θ的终边过点(4,﹣3),所以点到坐标原点的距离为:5;
根据三角函数的定义可知:cosθ=;
故选A
2.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )
A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2}
C.{1,2,3} D.{1,2}
【考点】交集及其运算.
【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B的值.
【解答】解:∵集合A={1,2,3},B={x|x2<9}={x|﹣3<x<3},
∴A∩B={1,2}.
故选:D.
3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin(2x﹣) B.y=2sin(2x﹣) C.y=2sin(x+) D.y=2sin(x+)
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据已知中的函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的A,ω,φ值,可得答案.
【解答】解:由图可得:函数的最大值为2,最小值为﹣2,故A=2,
=,故T=π,ω=2,
故y=2sin(2x+φ),
将(,2)代入可得:2sin(+φ)=2,
则φ=﹣满足要求,
故y=2sin(2x﹣),
故选:A.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
A.12π B.π C.8π D.4π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求出球的表面积.
【解答】解:正方体体积为8,可知其边长为2,
正方体的体对角线为=2,
即为球的直径,所以半径为,
所以球的表面积为=12π.
故选:A.
5.设向量,足||=||=1,则|+2|的最大值为( )
A. B. C.2 D.3
【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.
【分析】利用向量的模以及向量的数量积求解即可.
【解答】解:向量,足||=||=1,则|+2|==≤=3,当且仅当cos=1时,取等号.
故选:D.
6.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1 B.a>b﹣1 C.a2>b2 D.a3>b3
【考点】充要条件.
【分析】利用不等式的性质得到a>b+1⇒a>b;反之,通过举反例判断出a>b推不出a>b+1;利用条件的定义判断出选项.
【解答】解:a>b+1⇒a>b;
反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,
故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.
故选:A.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2,Sk,将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解.
【解答】解:根据题意:
Sk+2=(k+2)2,Sk=k2
∴Sk+2﹣Sk=24转化为:
(k+2)2﹣k2=24
∴k=5
故选D
8.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
【考点】对数函数的定义域;对数函数的值域与最值.
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案.
【解答】解:函数y=10lgx的定义域和值域均为(0,+∞),
函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;
函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;
函数y=2x的定义域为R,值域为R(0,+∞),不满足要求;
函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求;
故选:D
9.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1+12%)n﹣2015>200,两边取对数即可得出.
【解答】解:设第n年开始超过200万元,
则130×(1+12%)n﹣2015>200,
化为:(n﹣2015)lg1.12>lg2﹣lg1.3,
n﹣2015>=3.8.
取n=2019.
因此开始超过200万元的年份是2019年.
故选:B.
10.函数f(x)=x3+ax2+3x﹣9已知f(x)在x=﹣3时取得极值,则a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】先对函数进行求导,根据函数f(x)在x=﹣3时取得极值,可以得到f′(﹣3)=0,代入求a值.
【解答】解:对函数求导可得,f′(x)=3x2+2ax+3
∵f(x)在x=﹣3时取得极值
∴f′(﹣3)=0⇒a=5,验证知,符合题意
故选:D.
11.函数的图象的最低点坐标是( )
A.(0,2) B.不存在 C.(1,2) D.(1,﹣2)
【考点】函数的图象;函数的最值及其几何意义.
【分析】本题考查的知识点是函数的最值及基本不等式,我们易将函数的解析式化为y=,又由(x>﹣1)由基本不等式,我们易得x=0,y取最小值2,即得函数的图象的最低点坐标.
【解答】解:∵==≥2(x>﹣1)
当且仅当x+1=1,即x=0时,y取最小值2
故函数的图象的最低点坐标是(0,2)
故选A.
12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
【考点】二次函数的性质;带绝对值的函数;函数迭代.
【分析】根据已知中函数函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),分析函数的对称性,可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点关于直线x=1对称,进而得到答案.
【解答】解:∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),
故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称,
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点也关于直线x=1对称,
故xi=×2=m,
故选:B
二.填空题:共4小题,每小题5分.
13.已知向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,则m= ﹣6 .
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可.
【解答】解:向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,
可得12=﹣2m,解得m=﹣6.
故答案为:﹣6.
14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
【考点】解三角形.
【分析】运用同角的平方关系可得sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式,可得sinB,运用正弦定理可得b=,代入计算即可得到所求值.
【解答】解:由cosA=,cosC=,可得
sinA===,
sinC===,
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,
由正弦定理可得b=
==.
故答案为:.
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若向量=a100+a101,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200等于 100 .
【考点】数列与向量的综合;向量的共线定理.
【分析】先根据向量的共线定理求出a100与a101的关系,再根据等差数列前n项和公式便可求出S200的值.
【解答】解:由题意可知:向量=a100+a101,
又∵A、B、C三点共线,
则a100+a101=1,
等差数列前n项的和为Sn=,
∴S200===100,
故答案为100.
16.若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z的几何意义确定取得最大值的条件,然后利用基本不等式进行求则+的最小值.
【解答】解:由z=ax+by(a>0,b>0)得,
∵a>0,b>0,∴直线的斜率,
作出不等式对应的平面区域如图:
平移直线得,由图象可知当直线经过点A时,直线的截距最大,此时z最大.
由,解得,即A(8,10),
此时目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为40,
即8a+10b=40,∴a+b=1,
+=(+)×1=(+)×(a+b)
=1+++≥+2=+2×=+1=,
当且仅当=,即2a=5b时取等号.
故+的最小值为
故答案为:
三.解答题(共70分,第17题10分,其余各题12分)
17.设f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得函数的增区间.
(Ⅱ)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,从而求得g()的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x
=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin(2x﹣)+﹣1,
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,
可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=2sin(x﹣)+﹣1的图象;
再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)=2sinx+﹣1的图象,
∴g()=2sin+﹣1=.
18.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【考点】等差数列的通项公式;等差数列的性质.
【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,根据已知构造关于首项和公差方程组,解得答案;
(Ⅱ)根据bn=[an],列出数列{bn}的前10项,相加可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
∵a3+a4=4,a5+a7=6.
∴,
解得:,
∴an=;
(Ⅱ)∵bn=[an],
∴b1=b2=b3=1,
b4=b5=2,
b6=b7=b8=3,
b9=b10=4.
故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.
19.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(1)根据基本不等式性质可知≤进而求得y的最大值.根据等号成立的条件求得此时的平均速度.
(2)依题意可知>10,整理求得v的范围.
【解答】解:(1)依题意,y=≤=,
当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立,所以ymax=≈11.1(千辆/时).
(2)由条件得>10,
整理得v2﹣89v+1600<0,
即(v﹣25)(v﹣64)<0.解得25<v<64.
∴当v=40km/h时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h.
20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(Ⅰ)求证:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.
【考点】直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)证明:AB∥平面PCD,即可证明AB∥EF;
(Ⅱ)利用平面PAD⊥平面ABCD,证明CD⊥AF,PA=AD,所以AF⊥PD,即可证明AF⊥平面PCD;
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ)证明:因为底面ABCD是正方形,
所以AB∥CD.
又因为AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,
所以AB∥平面PCD.
又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
所以AB∥EF.…
(Ⅱ)证明:在正方形ABCD中,CD⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
又AF⊂平面PAD
所以CD⊥AF.
由(Ⅰ)可知AB∥EF,
又因为AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点,所以点F是棱PD中点.
在△PAD中,因为PA=AD,所以AF⊥PD.
又因为PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.…
21.已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
【考点】简单复合函数的导数.
【分析】(I)当a=4时,求出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率,即可求出切线方程;
(II)先求出f′(x)>f′(1)=2﹣a,再结合条件,分类讨论,即可求a的取值范围.
【解答】解:(I)当a=4时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).
f(1)=0,即点为(1,0),
函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)•﹣4,
则f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,
即函数的切线斜率k=f′(1)=﹣2,
则曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2;
(II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),
∴f′(x)=1++lnx﹣a,
∴f″(x)=,
∵x>1,∴f″(x)>0,
∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.
①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(1)=0,满足题意;
②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.
综上所述,a≤2.
22.设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.
(Ⅰ)证明:函数Fn(x)=fn(x)﹣2在(,1)内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=+x;
(Ⅱ)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.
【考点】数列的求和;等差数列与等比数列的综合.
【分析】(Ⅰ)由Fn(x)=fn(x)﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2,求得Fn(1)>0,Fn()<0.再由导数判断出函数Fn(x)在(,1)内单调递增,得到Fn(x)在(,1)内有且仅有一个零点xn,由Fn(xn)=0,得到;
(Ⅱ)先求出,构造函数h(x)=fn(x)﹣gn(x)=1+x+x2+…++xn﹣,当x=1时,fn(x)=gn(x).
当x≠1时,利用导数求得h(x)在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减,得到fn(x)<gn(x).
【解答】证明:(Ⅰ)由Fn(x)=fn(x)﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2,
则Fn(1)=n﹣1>0,
Fn()=1+.
∴Fn(x)在(,1)内至少存在一个零点,
又,∴Fn(x)在(,1)内单调递增,
∴Fn(x)在(,1)内有且仅有一个零点xn,
∵xn是Fn(x)的一个零点,∴Fn(xn)=0,
即,故;
(Ⅱ)由题设,,
设h(x)=fn(x)﹣gn(x)=1+x+x2+…++xn﹣,x>0.
当x=1时,fn(x)=gn(x).
当x≠1时,.
若0<x<1,h′(x)>=.
若x>1,h′(x)<=.
∴h(x)在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减,
∴h(x)<h(1)=0,即fn(x)<gn(x).
综上,当x=1时,fn(x)=gn(x);
当x≠1时,fn(x)<gn(x).
2016年12月16日
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