2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-2-2函数与方程及函数的应用 8页

一、选择题 ‎1．[2016·山东莱芜模拟]已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)‎ A.，0 B．－2,0‎ C. D．0‎ 答案　D 解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.‎ ‎2．[2016·北京昌平三模]已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 答案　B 解析　函数f(x)的导数为f′(x)＝，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝ln x－.因为g(1)＝ln 1－1＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间为(1,2)，故选B.‎ ‎3．[2016·郑州质检]已知函数f(x)＝x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　作出g(x)＝x与h(x)＝cosx的图象，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.‎ ‎4．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　)‎ A．10个 B．9个 ‎ C．8个 D．1个 答案　A 解析　在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.‎ ‎5．[2015·北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)‎ A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 答案　D 解析　对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．‎ ‎6．[2015·郑州质量预测(一)]设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　)‎ A．g(a)<00，且函数f(x ‎)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即00，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)1,0或<－a<，即－0；‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.‎ 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．‎ 答案　①④‎ 解析　因为f(x)＝2x在R上是单调递增的，所以对于不相等的实数x1，x2，m＝>0恒成立，①正确；因为g(x)＝x2＋ax，所以n＝＝x1＋x2＋a，正负不定，②错误；由m＝n，整理得f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)．令函数p(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则p′(x)＝2xln 2－2x－a，令t(x)＝p′(x)，则t′(x)＝2x(ln 2)2－2，又t′(1)＝2(ln 2)2－2<0，t′(3)＝8(ln 2)2－2>0，从而存在x0∈(1,3)，使得t′(x0)＝2x0(ln 2)2－2＝0，于是p′(x)有极小值p′(x0)＝2x0ln 2－2x0－a＝－2log2－a，所以存在a＝－2log2，使得p′(x0)＝>0，此时p(x)在R上单调递增，故不存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不满足题意，③错误；由m＝－n，得f′(x)＝－g′(x)，即－a＝2xln 2＋2x.设h(x)＝2xln 2＋2x，则h′(x)＝2x(ln 2)2＋2>0，所以h(x)在R上是单调递增的，且当x→＋∞时，h(x)→＋∞；当x→－∞时，h(x)→－∞，所以对于任意的a，y＝－a与y＝h(x)的图象一定有交点，④正确．‎ 三、解答题 ‎11．[2016·湖南浏阳一中段考]已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．‎ 解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，‎ ‎∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，又f(1)＝－4a，‎ ‎∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.‎ ‎(2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4ln x－2(x>0)，g′(x)＝1＋－＝.‎ ‎∴x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当03，‎ g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.‎ 故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．‎ ‎12．[2016·山东菏泽期中]已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ ‎(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；‎ ‎(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)‎ 解　(1)当010时，‎ W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.‎ ‎∴W＝ ‎(2)①当00，当x∈(9,10]时，W′<0，‎ ‎∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，‎ 且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.‎ ‎②当x>10时，‎ W＝98－≤98－2＝38，‎ 当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，‎ 故当x＝时，W取最大值38(当1000x取整数时，W一定小于38)．‎ 综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．‎