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- 2024-03-15 发布
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第二章 函数
一．基础题组
1. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，5】函数满足的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．1或
【答案】D
【解析】
试题分析：,.
考点：分段函数求值.
2. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，7】函数是偶函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
考点：函数的奇偶性与单调性.
3. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，2】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，故选B.
考点：函数的定义域.
4. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，6】设，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：；
，故选A.
考点：比较大小.
5. 【重庆八中2017届高三上学期二调，4】高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第层时楼，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（ ）
A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼
【答案】B
【解析】
试题分析：总的不满意度：，由对勾函数的性质可知，当时，其值最小，故选B.
考点：根据实际问题选择函数类型.
6. 【福建厦门一中2017届上学期期中，4】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，，，则，故选B.
考点：不等式与不等关系.
7. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，2】下列函数中，即是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析:因当,函数是增函数,而其它函数都是减函数,故应选D.
考点：基本初等函数的图象和性质的综合运用.
8. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，5】设若，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：三角函数及对数函数的图象和性质的综合运用.
9. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，3】函数的图象大致是（ ）
【答案】C
【解析】
试题分析:因函数是偶函数,且当时,函数值为正数；当时,函数值为负数.故应选C.
考点：函数的奇偶性对称性及分析判断的能力.
10. 【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，4】设函数的图象上的点处的切线的斜率为，若，则函数的图象为（ ）
【答案】C
考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性．
【方法点睛】根据函数解析式，识别函数图象的常用方法：(1)定性分析法，即对函数的单调性进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；(2)定量计算法，即通过定量的计算来分析解决．
11. 【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，6】已知函数（）有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为是函数的零点，则函数有四个不同的零点，等价于方程有三个不同的根，即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=与有三个不同的交点，由图知，所以，故选D．
考点：函数的零点．
【技巧点睛】判断方程的根的个数问题，可以转化为函数和图象交点的个数问题，通过在直角坐标系中作出两个函数图象，从而确定交点的个数，也就是方程根的个数．
12. 【四川自贡普高2017届一诊，7】设，则对任意实数，若，则（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：函数的奇偶性与单调性.
13. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，3】下列函数既是奇函数又在上是减函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：函数在区间单调递减，不符合题意；函数是奇函数，但在
处无意义，不符合题意；对于C，函数的定义域为,且为奇函数，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，符合题意；函数是奇函数，在定义域内单调递增，不符合题意.故选C.
考点：函数的单调性与奇偶性.
14. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，5】已知函数，若，则（ ）．
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知，所以，故选B.
考点：分段函数及其表示.
15. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，3】已知满足对，，且时，（为常数），则的值为（ ）
A.4 B.-4 C.6 D.-6
【答案】B
考点：奇函数的性质，对数的运算
16. 【山西运城2017届上学期期中，5】函数满足的
值为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，由可得；当时由可得，综上可得满足的值为或，选D
考点：分段函数
17. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，2】下列各图中，表示以为自变量的奇函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：A,D不满足函数定义，不属于函数图象，C是偶函数，B函数图像关于原点对称，满足奇函数的条件，故选B.
考点：函数的定义域奇偶性.
18. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，6】函数的零点不可能在下列哪个区间上（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：函数的零点.
19. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，7】设区间的长度为，其中.现已知两个区间与的长度相等，则的最小值为（ ）
A． B．或 C. D．或
【答案】A
考点：函数与方程.
20. 【河北武邑中学2017届高三上学四调，4】函数的图象大致形状是（ ）
A B C D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由，∴在第一象限内图象是递增，且上凸．故选B．
考点：函数的图象.
21. 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，14】若函数为
上的偶函数，且当时，，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：.
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式.
22. 【山西运城2017届上学期期中，13】若一个幂函数图象过点，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设幂函数的解析式为
已知幂函数的图象过点，所以，即所以它的解析式为则
考点：幂函数
23. 【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，9】若，，则 ，与的大小关系是 ．
【答案】；
【解析】
试题分析：；因为，，所以．
考点：1、对数的运算；2、指数函数与对数函数的性质．
24. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，8】已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是 ．
【答案】
考点：函数的图象和基本性质的综合运用．
25. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，6】设函数, ．
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可得,故,故应填答案.
考点：对数函数指数函数的概念及性质的运用．
26. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，5】若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为 ．
【答案】
考点：导数的几何意义及运用．
27. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，4】函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.
考点：对数函数的图象和性质的运用．
28. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，13】已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：，
则，故答案为.
考点：分段函数的值.
29. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，14】设函数，则 _____________．
【答案】
【解析】
试题分析：,.
考点：分段函数与对数运算.
二．能力题组
1. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，12】定义域在上的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为
，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数为奇函数，所以可以得到当时，，当时，
，所以函数图象如下图，函数的零点即为函数与的交点，如上图所示，共个，当时，令，解得：，当时，令，解得：，当时，令，解得：，所以所有零点之和为：，.故本题正确答案为B.
考点：分段函数的图象，函数的性质，函数与方程.
2. 【重庆八中2017届高三上学期二调，12】对于函数，设，，…，（，且），令集合，则集合为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
【答案】B
考点：（1）元素与集合关系的判断；（2）集合的表示法.
3. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，11】定义在实数集上的函数，满足，当时，.则函数的零点个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：是偶函数，图象关于直线对称，周期是，画图可得，零点个数为，故选B.
考点：根的存在性及根的个数判断.
4. 【福建厦门一中2017届上学期期中，11】大致的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
考点：函数的图象.
5. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，8】设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
考点：分段函数的应用.
6. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，10】已知函数,用表示中最小值，设
,则函数的零点个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析: 由可得；由可得，且当时，．当时无意义，结合函数的图象可知方程有三个根.故应选C.
考点：新定义的概念与函数的图象及函数的零点等知识的综合运用.
【易错点晴】数形结合的数学思想是高中数学中常用的数学思想之一,本题以新定义的函数为背景,考查是借助基本初等函数的图象和所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时要充分借助题设条件,合理运用数形结合思想化归转化的数学思想,先将两个函数的图象画出如图,运用数形结合的思想,确定函数的图象,继而具体分析确定函数的零点的个数,使得问题获解.
7. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，11】函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
考点：函数的图象.
8. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，10】函数在上的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为函数是奇函数，排除B、C，通过特殊值，且，故选D.
考点：函数的奇偶性与函数的图象.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的图象，属中档题；函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来.
9. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，12】函数的零点个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
考点：1.三角恒等变换；2.函数与方程.
【名师点睛】本题考查三角恒等变换、函数与方程，属难题；函数的性质问题以及函数的零点与方程根的问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数
有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.
10. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，1】已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
11. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，11】已知函数满足，当时，，若在上，方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：
由题意，时，当时，，如图
在有两解，有两解，设函数在上单调递减，在上单调递增，.故选：D．
考点：函数与方程的思想，根的存在问题
12. 【山西运城2017届上学期期中7，】函数是偶函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：∵函数是偶函数，且在内是增函数，在内是减函数，
又的解集是的解集是的解集为.故选B.
考点：函数奇偶性，单调性的综合应用
13. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，10】已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：1、分段函数；2、函数的单调性；3、不等式的解法．
14. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，11】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，点在棱上运行，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，作于，作于，连接，则由鳖臑的定义知，．设，则，即，又＝，所以，所以,所以，其图象是关于对称的曲线，排除B、C、D，故选A．
考点：函数的图象．
15. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，7】设区间的长度为，其中.现已知两个区间与的长度相等，则的最小值为（ ）
A． B．或 C. D．或
【答案】A
考点：函数与方程.
16.【河南百校联盟2017届高三11月质检，15】已知定义在上的单调函数满足对任意的，，都有成立，若正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意定义在上的单调函数满足对任意的，，都有成立，则令，则；又令则，故是上的奇函数，根据已知，由，因为，均为正实数，则，当且仅当即时取等号
考点：抽象函数的有关性质，基本不等式
17. 【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，12】已知，函数为奇函数，则 ， ．
【答案】；
【解析】
试题分析：因为函数是奇函数，所以，解得；因为＝，所以＝＝．
考点：1、分段函数；2、函数的奇偶性．
【方法点睛】在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足或偶函数满足＝列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值.特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据列式求解，若不能确定则不可用此法.
18. 【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，14】设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析:由题设及函数的解析式可知，所以．由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案.
考点：互为反函数的图象和性质及函数方程思想的综合运用．
【易错点晴】函数与方程思想、等价转化与化归的数学思想是高中数学的重要思想方法,也高考必考的重要考点.本题以两个函数满足的关系式为背景,考查的是转化与化归思想和函数方程思想的灵活运用.解答时先依据题设条件将问题转化为即在有解,进而构造函数,运用导数求出其值域,从而使得问题巧妙获解.
19. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评16】已知定义在的函数，若关于的方程有且只有个不同的实数根，则实数的取值集合是 ．
【答案】
考点：（1）方程根的个数判断；（2）函数性质的综合运用.
三、拔高题组
1. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，19】食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足.设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）
（1）求的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？
【答案】（1），（2）投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元.
【解析】
试题分析：（1）由题意，把代入所给函数求出即可；（2）每年两个大棚的总收益为,确定函数的定义域，利用二次函数图象在闭区间上求最值即可.
试题解析：（1）因为甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2），
依题意得，故．．．．．．8分
令，
则，
当，即时，，
所以投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元．．．．．．．．．．．12分
考点：函数的实际应用问题.
2. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，18】（本小题满分12分）
在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水米到水底进行考古作业.其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为米/分钟，每分钟用氧量为升；②水底作业时间范围是最少分钟最多分钟，每分钟用氧量为升；③返回水面时，平均速度为米/分钟，每分钟用氧量为升.潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.
（1）如果水底作业时间是分钟，将表示为的函数；
（2）若，水底作业时间为分钟，求总用氧量的取值范围；
（3）若潜水员携带氧气升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，
整理得.
（2）由（1）同理得
函数在是减函数，是增函数
当时，当时，时
所以总用氧量的取值范围是.
（3）潜水员在潜水与返回最少要用升氧气，则在水下时间最长为分钟
所以潜水员最多在水下分钟.
考点：函数在实际问题中的应用.
3. 【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，17】已知函数．
（1）若时，求出函数的单调区间及最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在单调递减，在单调递增，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）首先将函数写成分段函数的形式，然后根据解析式求得单调区间及最小值；（2）首先将函数写成分段函数的形式，然后分、、求出的取值范围．
试题解析：（1）时，
所以在单调递减，在单调递增，．
考点：1、分段函数；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨论化为不等式（组）求解；或画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出不等式（组）,从而解出参数范围．
4. 【山西运城2017届上学期期中，21】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一顿二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】（1）该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低（2）该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，利用基本不等式，可得时，才能使每吨的平均处理恒本最低，最低成本为200元．（2）设该单位每月获利为，则
，利用二次函数的性质
可得当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．
试题解析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理恒本最低，最低成本为200元．
（2）设该单位每月获利为，则，
因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．
考点：函数的实际应用
5. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，19】（本小题满分12分）
已知定义在上的函数的周期为3.当时，.
（1）求的值；
（2）若关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用周期性易得；（2）方程有解问题采用变量分离，得到方程在上有实根，构造函数，研究其单调性得到值域即为的取值范围.
试题解析：（1）∵函数的周期为3，∴，，
∴.………………3分
（2）设，则，∵函数的周期为3，
∴.………………6分
方程在上有实根在上有实根，………………7分
设，
∵，∴，∵，
∴，………………10分
又∵，∴，∴，
∴实数的取值范围为.………………12分
考点：函数的周期性；函数与方程.
6. 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，19】（本小题满分12分）
设定义在上的函数满足且，.
⑴求，，的值；
⑵若为一次函数，且在上为增函数，求的取值范围.
【答案】⑴， ，；⑵.
试题解析： ⑴令，得，………………………………1分
∴，∵.……………………………………2分
∴，.…………………………4分
⑵∵.
∴设，又，∴，.
∴，…………………………………………7分
∴，
∴，∴，即.…………………………12分
考点：1、函数的解析式；2、一次函数；3、函数的单调性.