2018届高三数学一轮复习： 重点强化训练2 平面向量 7页

重点强化训练(二)　平面向量 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 (　　)‎ ‎ 【导学号：01772166】‎ A．a＋b＝0‎ B．a＝b C．a与b共线反向 ‎ D．存在正实数λ，使a＝λb D　[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1　　 B.2　‎ C.3　　 D.5‎ A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2＝10，‎ ‎|a－b|2＝(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2＝6，‎ 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]‎ ‎3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b ‎|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]‎ ‎4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则与的夹角为(　　) ‎ ‎【导学号：01772167】‎ A. B. C.π D.π A　[由题意，得＋＝(3＋cos α，sin α)，‎ 所以|＋|＝ ‎＝＝，‎ 即cos α＝，‎ 因为α∈(0，π)，所以α＝，C.‎ 设与的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝.‎ 因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]‎ ‎5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.[0,1]‎ C　[将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，‎ 设E(x,0)，0≤x≤1.‎ 又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.]‎ 二、填空题 ‎6．设O是坐标原点，已知＝(k,12)，＝(10，k)，＝(4,5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________．‎ ‎ 【导学号：01772168】‎ ‎11或－2　[由题意得＝－＝(k－4,7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，‎ 所以(k－4)(k－5)＝6×7，‎ k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]‎ ‎7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则正实数a的值为________．‎ ‎2　[由|＋|＝|－|，知⊥，‎ ‎∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，‎ ‎∴＝，解得a＝2(a>0)．]‎ ‎8．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．‎ ‎－　[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ≥2AB·AC＋AB·AC＝3‎ AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤，所以·＝||·||·cos ≥－，(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号取得．]‎ 三、解答题 ‎9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R). ‎ ‎【导学号：01772169】‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，‎ ‎∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分 ‎∴||＝＝2.5分 ‎(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,‎2m＋n)，‎ ‎∴8分 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12分 ‎10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分 又x∈，从而sin x＝，所以x＝.5分 ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，8分 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝(　　)‎ A．－4 B.3‎ C.－11 D.10‎ C　[a·b＝2×3×cos 60°＝3，‎ ＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2b.‎ ‎∵AB⊥AC，∴·＝0，‎ 即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，‎ ‎∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，‎ 即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，‎ 解得m＝－11.故选C.]‎ ‎2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．‎ 　[∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝，‎ ‎∴〈a，b〉＝60°.‎ 以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，‎ 则a＝(1,0)，b＝(1，)．‎ 设e＝(cos θ，sin θ)，‎ 则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ|‎ ‎≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ|‎ ‎＝2|cos θ|＋|sin θ|‎ ‎≤ ‎＝.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. ‎ ‎【导学号：01772170】‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，2分 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).5分 ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1.7分 又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝.9分 ‎∵a＝，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ ‎∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②‎ 由①②可得b＝3，c＝2. 12分