山西省平遥中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理） 8页

山西省平遥中学2018-2019学年高二下学期期中考试（理）‎ 一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分)‎ ‎1．设复数，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若是函数在区间上的导函数，且，，则 的值为（ ）‎ A. 2 B. 8 C. D. 12‎ ‎3．已知：，观察下列式子：类比有,则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．设函数．若为偶函数，则在处的切线方程为 ‎（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．用数学归纳法证明 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）‎ A．24 B．27 C．30 D．36‎ ‎7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A．甲、乙可以知道对方的成绩 B．甲、乙可以知道自己的成绩 C．乙可以知道四人的成绩 D．甲可以知道四人的成绩 ‎8．设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. [－∞，2) B. (1，2] C. (0，3] D. (4，＋∞]‎ ‎9．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2 f ′(e)x+ln x（e为自然对数的底数），则f ′(e)=（ ）‎ A. B．e C. - D．- e ‎10．函数有（ ） ‎ A．极大值5，极小值－27； B．极大值5，极小值－11； ‎ C ．极小值－27，无极大值； D．极大值5，无极小值；‎ ‎11．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 设，若对于任意，总存在 ‎，使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A. 　 B. 　 C. 　 D. ‎ 一. 填空题 ：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. ______‎ ‎14．设为虚数单位，则=_________.‎ ‎15．对于三次函数（），定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0‎ ‎))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为_________.‎ ‎16．已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是 ‎ 三. 解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.（本小题满分10分）‎ 设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.‎ ‎（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．‎ ‎（2）若ω＝，求证：ω为纯虚数．‎ ‎18．（本小题满分12分）用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．‎ ‎19．设f(x)＝，其中a为正实数．‎ ‎(1)当a＝时，求f(x)的极值点；‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）当时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数 ‎（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；‎ ‎（2）当时，若在区间上不单调，求的取值范围．‎ ‎22.（本小题满分12分）．已知 ‎（1）设，讨论的单调性；‎ ‎（2）若对任意的，恒有，求的范围 参考答案 一、选择题：(本大题包括12小题，每小题5分)‎ ‎1-12、CBACB CBBCD AC 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13. 14.1 15 16. ‎ 三、解答题：(本大题共6小题,17题10分，其它题都是12分)‎ ‎17.解：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.‎ 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，................4分 还可得z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是. ...................7分 ‎(2)ω＝＝＝ ‎＝－i.‎ 因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数． ...........10分 ‎18.证明　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，‎ 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)‎ ‎＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)‎ ‎＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2‎ ‎＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，‎ 所以当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立 ‎19、解：对f(x)求导得f′(x)＝ex.‎ ‎(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，‎ 解得x1＝，x2＝.‎ 当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴x＝是极小值点，x＝是极大值点．‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又a＞0，故0＜a≤1.‎ ‎20.【解】　(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，‎ 得m≤在(1，＋∞)上恒成立，‎ 令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，‎ 当x∈(1，e)时，g′(x)<0；‎ x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.‎ 故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，‎ 故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.‎ 所以m≤e. .......6分 ‎(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，‎ φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，‎ 所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，‎ 当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．‎ 所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，‎ 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，‎ 所以2－2ln 2