成都市高三二轮复习文科数学（六） 三角函数的图象与性质 17页

第 1 页 共 17 页 成都市高三二轮复习文科数学（六） 三角函数的图象与性质 [全国卷 考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 三角函数的诱导公式及三 角函数的性质·T15 三角函数的图象与性质，函数的极值点·T8 三角函数的零点·T5 2018 三角恒等变换及三角函数 的周期与最值·T8 三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6 2017 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T6 三角函数的最值·T13 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调 性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题. (2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第 3～11 或 14～15 题位置上. 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 [例 1] (1)(2019·安徽省考试试题)角θ的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴，终边经过点 P(4，y)，且 sin θ ＝－3 5 ，则 tan θ＝( ) A.－4 3 B.4 3 C.－3 4 D.3 4 (2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sin x.当 0≤x＜π时，f(x)＝0，则 f 23π 6 ＝( ) A.1 2 B. 3 2 C.0 D.－1 2 [解析] (1)因为角θ的终边经过点 P(4，y)，sin θ＝－3 5 ＜0，所以角θ为第四象限角，所以 cos θ＝ 1－sin2θ ＝4 5 ，所以 tan θ＝sin θ cos θ ＝－3 4 ，故选 C. (2)由已知，得 f 23π 6 ＝f 17π 6 ＋sin17π 6 ＝f 11π 6 ＋sin11π 6 ＋sin17π 6 ＝f 5π 6 ＋sin5π 6 ＋sin11π 6 ＋sin17π 6 ＝f 5π 6 ＋sinπ 6 ＋sin －π 6 ＋sinπ 6 ＝0＋1 2 ＋ －1 2 ＋1 2 ＝1 2. [答案] (1)C (2)A [解题方略] 1.同角三角函数基本关系式的应用技巧 第 2 页 共 17 页 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系 sin2α＋cos2α＝1 求解 知弦求切 常通过平方关系、对称式 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 建立联系，注意 tan α＝sin α cos α 的灵活应用 知切求弦 通常先利用商数关系转化为 sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平 方关系求解 和积转换法 如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 巧用“1” 的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ 1＋ 1 tan2θ 2.利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确 定. [注意] “奇变偶不变，符号看象限”. 1.(2019·福建适应性练习)已知α∈(0，π)，sin π 2 －α ＝－1 3 ，则 tan(α＋π)＝( ) A. 2 4 B.－ 2 4 C.2 2 D.－2 2 解析：选 D 由 sin π 2 －α ＝－1 3 ，得 cos α＝－1 3 ，又由α∈(0，π)，得 sin α＝2 2 3 ，tan α＝－2 2，所 以 tan(α＋π)＝tan α＝－2 2.故选 D. 2.已知直线 2x－y－1＝0 的倾斜角为α，则 sin 2α－2cos2α＝( ) A.2 5 B.－6 5 C.－4 5 D.－12 5 解析：选 A 法一：(直接法)由已知得 tan α＝2，即 sin α＝2cos α. 又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin2α＝4 5 ，cos2α＝1 5. 而 sin 2α－2cos2α＝2sin αcos α－2cos2α＝2×2cos αcos α－2cos2α＝2cos2α＝2 5.故选 A. 法二：(转化法)由已知得 tan α＝2，所以 sin 2α－2cos2α＝2sin αcos α－2cos2α sin2α＋cos2α ＝2tan α－2 tan2α＋1 ＝2×2－2 22＋1 ＝2 5. 考点二 三角函数的图象与解析式 第 3 页 共 17 页 题型一 由“图”定“式” [例 2] (1)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式 为( ) A.f(x)＝2sin 1 2x＋π 4 B.f(x)＝2sin 1 2x＋3π 4 C.f(x)＝2sin 1 4x＋3π 4 D.f(x)＝2sin 2x＋π 4 (2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象与 x 轴的一个交点 －π 12 ，0 到其相邻的一条对 称轴的距离为π 4 ，若 f π 12 ＝3 2 ，则函数 f(x)在 0，π 2 上的最小值为( ) A.1 2 B.－ 3 C.－ 3 2 D.－1 2 [解析] (1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点 －π 2 ，2 ，最低点 3π 2 ，－2 ， 所以函数的最大值为 2，即 A＝2. 由图象可得，x＝－π 2 ，x＝3π 2 为相邻的两条对称轴， 所以函数的周期 T＝2× 3π 2 － －π 2 ＝4π，故2π ω ＝4π，解得ω＝1 2.所以 f(x)＝2sin 1 2x＋φ . 把点 －π 2 ，2 代入可得 2sin 1 2 × －π 2 ＋φ ＝2，即 sin φ－π 4 ＝1，所以φ－π 4 ＝2kπ＋π 2 (k∈Z)， 解得φ＝2kπ＋3π 4 (k∈Z).又 0<φ<π，所以φ＝3π 4 .所以 f(x)＝2sin 1 2x＋3π 4 ，故选 B. (2)由题意得，函数 f(x)的最小正周期 T＝4×π 4 ＝π＝2π ω ，解得ω＝2. 因为点 －π 12 ，0 在函数 f(x)的图象上，所以 Asin 2× －π 12 ＋φ ＝0， 解得φ＝kπ＋π 6 ，k∈Z，由 0<φ<π，可得φ＝π 6 .因为 f π 12 ＝3 2 ，所以 Asin 2×π 12 ＋π 6 ＝3 2 ， 解得 A＝ 3，所以 f(x)＝ 3sin 2x＋π 6 .当 x∈ 0，π 2 时，2x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， ∴sin 2x＋π 6 ∈ －1 2 ，1 ，∴f(x)的最小值为－ 3 2 . [答案] (1)B (2)C [解题方略] 由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参 第 4 页 共 17 页 数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图. (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 M＝A＋B，m＝－A＋B， 解得 B＝M＋m 2 ，A＝M－m 2 . (2)T 定ω：由周期的求解公式 T＝2π ω ，可得ω＝2π T . (3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破 口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”. 题型二 三角函数的图象变换 [例 3] (1)(2019·福建省质量检查)将函数 y＝sin 2x＋π 6 的图象向右平移π 6 个单位长度后，所得图象的一个 对称中心为( ) A. π 12 ，0 B. π 4 ，0 C. π 3 ，0 D. π 2 ，0 (2)(2019·天津高考)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且 f(x)的最小正周期为π， 将 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x).若 g π 4 ＝ 2，则 f 3π 8 ＝( ) A.－2 B.－ 2 C. 2 D.2 [解析] (1)将函数 y＝sin 2x＋π 6 的图象向右平移π 6 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 y＝ sin 2 x－π 6 ＋π 6 ＝sin 2x－π 6 ，令 2x－π 6 ＝kπ，k∈Z，得 x＝kπ 2 ＋π 12 ，k∈Z，当 k＝0 时，x＝π 12 ，故所 得图象的一个对称中心为 π 12 ，0 ，选 A. (2)∵函数 f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0. 又 f(x)的最小正周期为π， ∴2π ω ＝π，解得ω＝2.∴f(x)＝Asin 2x. 由题意可得 g(x)＝Asin x，g π 4 ＝ 2， 第 5 页 共 17 页 即 Asinπ 4 ＝ 2，解得 A＝2. 故 f(x)＝2sin 2x. ∴f 3π 8 ＝2sin3π 4 ＝ 2. 故选 C. [答案] (1)A (2)C [解题方略] 关于三角函数的图象变换的方法 沿 x 轴 沿 y 轴 平移 变换 由 y＝f(x)变为 y＝f(x＋φ)时，“左加右 减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 由 y＝f(x)变为 y＝f(x)＋k 时，“上加下 减”，即 k>0，上移；k<0，下移 伸缩 变换 由 y＝f(x)变为 y＝f(ωx)时，点的纵坐 标不变，横坐标变为原来的 1 |ω| 倍 由 y＝f(x)变为 y＝Af(x)时，点的横坐 标不变，纵坐标变为原来的|A|倍 [跟踪训练] 1.(2019·广州市调研测试)将函数 y＝f(x)的图象向左平移π 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍得到 y＝sin 3x－1 6 π 的图象，则 f(x)＝( ) A.sin 3 2x＋1 6 π B.sin 6x－1 6 π C.sin 3 2x＋1 3 π D.sin 6x＋1 3 π 解析：选 B 法一：由题设知，f 1 2x＋π 3 ＝sin 3x－1 6 π .设 1 2x＋π 3 ＝t，则 x＝2t－2π 3 ，所以 f(t)＝ sin 3 2t－2π 3 －1 6 π ＝sin 6t－1 6 π .故 f(x)＝sin 6x－1 6 π .故选 B. 法二：由题设知，先将函数 y＝sin 3x－1 6 π 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 ，再将所得图象向右 平移π 3 个单位长度即得函数 f(x)的图象，故 f(x)＝sin 3×2 x－π 3 －1 6 π ＝sin 6x－1 6 π .故选 B. 2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为________. 第 6 页 共 17 页 解析：由题图易知，函数 f(x)的最小正周期 T＝4× 5 2 －1 ＝6，所以ω＝2π T ＝π 3 ，所以 f(x)＝Asin π 3 x＋φ ， 将(0，1)代入，可得 Asin φ＝1，所以 f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin π 3 ×3＋φ ＝－Asin φ＝－1. 答案：－1 3.(2019·西安师大附中模拟改编)将函数 y＝sin 2x＋π 6 的图象向右平移π 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位 长度，得到 g(x)的图象.若 g(x1)g(x2)＝4，且 x1，x2∈[－2π，2π]，则 g(x)＝____________，x1－2x2 的最大 值为________. 解析：将函数 y＝sin 2x＋π 6 的图象向右平移π 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到 g(x)＝ sin 2x－2π 3 ＋π 6 ＋1＝－cos 2x＋1 的图象，故 g(x)的最大值为 2，最小值为 0.若 g(x1)g(x2)＝4，则 g(x1)＝g(x2) ＝2，即 cos 2x1＝cos 2x2＝－1.又 x1，x2∈[－2π，2π]，∴2x1，2x2∈[－4π，4π]，要使 x1－2x2 取得最大 值，则应有 2x1＝3π，2x2＝－3π，此时 x1－2x2 的最大值为3π 2 ＋3π＝9π 2 . 答案：－cos 2x＋1 9π 2 考点三 三角函数的性质 [例 4] (1)(2019·全国卷Ⅱ)若 x1＝π 4 ，x2＝3π 4 是函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 (2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π 2 为周期且在区间 π 4 ，π 2 单调递增的是( ) A.f(x)＝|cos 2x| B.f(x)＝|sin 2x| C.f(x)＝cos |x| D.f(x)＝sin |x| (3)(2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)＝cos x－sin x 在[0，a]是减函数，则 a 的最大值是( ) A.π 4 B.π 2 C.3π 4 D.π [解析] (1)由题意及函数 y＝sin ωx 的图象与性质可知，1 2T＝3π 4 －π 4 ，∴ T＝π，∴ 2π ω ＝π，∴ ω＝2. 故选 A. (2)作出函数 f(x)＝|cos 2x|的图象，如图. 由图象可知 f(x)＝|cos 2x|的周期为π 2 ，在区间 π 4 ，π 2 上单调递增. 同理可得 f(x)＝|sin 2x|的周期为π 2 ，在区间 π 4 ，π 2 上单调递减，f(x)＝cos |x|的周期为 2π.f(x)＝sin |x|不是周 第 7 页 共 17 页 期函数，排除 B、C、D. 故选 A. (3)法一：∵f(x)＝cos x－sin x＝－ 2sin x－π 4 ，∴当 x－π 4 ∈ －π 2 ，π 2 ，即 x∈ －π 4 ，3π 4 时， y＝sin x－π 4 单调递增，f(x)＝－ 2sin x－π 4 单调递减，∴ －π 4 ，3π 4 是 f(x)在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a]⊆ －π 4 ，3π 4 ，∴a≤3π 4 ，即 amax＝3π 4 .故选 C. 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－ 2sin x＋π 4 . 于是，由题设得 f′(x)≤0，即 sin x＋π 4 ≥0 在区间[0，a]上恒成立.当 x∈[0，a]时，x＋π 4 ∈ π 4 ，a＋π 4 ， 所以 a＋π 4 ≤π，即 a≤3π 4 ，故所求 a 的最大值是3π 4 .故选 C. [答案] (1)A (2)A (3)C [解题方略] 1.求三角函数单调区间的方法 (1)代换法：求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令 ωx＋φ＝z，得 y＝Asin z(或 y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得. (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间. 2.判断对称中心与对称轴的方法 利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质， 通过检验 f(x0)的值进行判断. 3.求三角函数周期的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω| ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π |ω| . (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是1 2 个周期，相邻的对称中心与对称轴之 间的距离是1 4 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是1 2 个周期. [跟踪训练] 1.(2019·沈阳市质量监测一)设函数 f(x)＝sin 2x－π 4 ，则下列结论正确的是( ) A.函数 y＝f(x)的递减区间为 －π 8 ，3π 8 B.函数 y＝f(x)的图象可由 y＝sin 2x 的图象向左平移π 8 个单位长度得到 C.函数 y＝f(x)的图象的一条对称轴的方程为 x＝π 8 第 8 页 共 17 页 D.若 x∈ 7π 24 ，π 2 ，则 y＝f(x)的取值范围是 2 2 ，1 解析：选 D 对于 A，令 2kπ＋π 2 ≤2x－π 4 ≤2kπ＋3π 2 ，k∈Z，得 kπ＋3π 8 ≤x≤kπ＋7π 8 ，k∈Z，A 错； 对于 B，y＝sin 2x 的图象向左平移π 8 个单位长度后是 y＝sin 2 x＋π 8 ＝sin 2x＋π 4 的图象，B 错；对于 C， 令 2x－π 4 ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，得 x＝k 2 π＋3π 8 ，k∈Z，当 k＝－1 时，x＝－π 8 ，当 k＝0 时，x＝3π 8 ，C 错； 对于 D，若 x∈ 7π 24 ，π 2 ，则 2x－π 4 ∈ π 3 ，3π 4 ，故 f(x)∈ 2 2 ，1 ，D 正确. 2.(2019·武汉市调研测试)已知函数 y＝2sin(2x＋φ) －π 2 ＜φ＜π 2 的图象关于直线 x＝π 6 对称，则φ的值为 ________. 解析：法一：因为函数 y＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线 x＝π 6 对称，所以 2sin 2×π 6 ＋φ ＝±2，所以π 3 ＋φ ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，即φ＝kπ＋π 6 (k∈Z).又－π 2 ＜φ＜π 2 ，所以φ＝π 6 . 法二：因为函数 f(x)＝2sin(2x＋φ) －π 2 ＜φ＜π 2 的图象关于直线 x＝π 6 对称，所以 f(0)＝f π 3 ，即 2sin φ＝ 2sin 2π 3 ＋φ ，sin φ＝ 3 2 cos φ－1 2sin φ，则 tan φ＝ 3 3 .因为－π 2 ＜φ＜π 2 ，所以φ＝π 6 . 答案：π 6 考点四 三角函数图象与性质的综合应用 [例 5] (2019·浙江高考)设函数 f(x)＝sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函数 f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数 y＝ f x＋π 12 2 ＋ f x＋π 4 2 的值域. [解] (1)因为 f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数 x 都有 sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)， 即 sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，故 2sin xcos θ＝0，所以 cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π 2 或θ＝3π 2 . (2)y＝ f x＋π 12 2 ＋ f x＋π 4 2 ＝sin2 x＋π 12 ＋sin2 x＋π 4 ＝1－cos 2x＋π 6 2 ＋1－cos 2x＋π 2 2 ＝1－1 2 3 2 cos 2x－3 2sin 2x ＝1－ 3 2 cos 2x＋π 3 . 因此，所求函数的值域是 1－ 3 2 ，1＋ 3 2 . 第 9 页 共 17 页 [解题方略] 解决三角函数图象与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角一函数)的形式； (2)把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的单调性、奇偶性、最值、对称性 等问题. [跟踪训练] (2019·合肥市第一次质检)将函数 f(x)＝sin 2x 的图象向左平移π 6 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，设函数 h(x)＝f(x)－g(x).(1)求函数 h(x)的单调递增区间；(2)若 g α＋π 6 ＝1 3 ，求 h(α)的值. 解：(1)由已知可得 g(x)＝sin 2x＋π 3 ，则 h(x)＝sin 2x－sin 2x＋π 3 ＝sin 2x－π 3 . 令－π 2 ＋2kπ≤2x－π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z，得－π 12 ＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z. ∴函数 h(x)的单调递增区间为 －π 12 ＋kπ，5π 12 ＋kπ ，k∈Z. (2)由 g α＋π 6 ＝1 3 得 sin 2 α＋π 6 ＋π 3 ＝sin 2α＋2π 3 ＝1 3 ， ∴sin 2α－π 3 ＝－1 3 ，即 h(α)＝－1 3. 课后限时练习： A 组——“6＋3＋3”考点落实练 一、选择题 1.(2019·合肥市第一次质检)已知 cos α－sin α＝1 5 ，则 cos 2α－π 2 ＝( ) A.－24 25 B.－4 5 第 10 页 共 17 页 C.24 25 D.4 5 2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x＋1，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 3.(2019·四川攀枝花模拟)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 的部分图象如图所示，现将此图象 向右平移π 12 个单位长度得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为( ) A.g(x)＝2sin 2x B.g(x)＝2sin 2x－π 6 C.g(x)＝2sin 2x－π 4 D.g(x)＝2sin 2x－π 3 4.(2019·昆明市质量检测)将函数 y＝sin 2x－π 4 的图象向左平移π 4 个单位长度，所得图象对应的函数在区间 [－m，m]上单调递增，则 m 的最大值为( ) A.π 8 B.π 4 C.3π 8 D.π 2 5.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间 π 2 ，π 单调递增； ③f(x)在[－π，π]有 4 个零点；④f(x)的最大值为 2. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 6.(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数 f(x)＝Asin(2x＋θ) A＞0，|θ|＜π 2 的部分图象如图所示，f(a)＝f(b) ＝0，f(a＋b)＝ 3，则( ) A.f(x)在 －5π 12 ，π 12 上是减函数 B.f(x)在 －5π 12 ，π 12 上是增函数 C.f(x)在 π 3 ，5π 6 上是减函数 D.f(x)在 π 3 ，5π 6 上是增函数 第 11 页 共 17 页 二、填空题 7.(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝sin 2x＋3π 2 －3cos x 的最小值为________. 8.(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合， 终边交单位圆 O 于点 P(a，b)，且 a＋b＝7 5 ，则 cos 2α＋π 2 的值是________. 9.已知 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2，4]上单调，且 f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在 区间 1 2 ，3 上的值域是________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 的部分图象如图所示.(1)求函数 y＝f(x)的解析式；(2) 说明函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象经过怎样的平移变换得到. 11.已知 m＝ sin x－π 6 ，1 ，n＝(cos x，1).(1)若 m∥n，求 tan x 的值；(2)若函数 f(x)＝m·n，x∈[0，π]， 求 f(x)的单调递增区间. 12.已知函数 f(x)＝cos x(2 3sin x＋cos x)－sin2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若当 x∈ 0，π 2 时，不等式 f(x)≥m 有解，求实数 m 的取值范围. 第 12 页 共 17 页 B 组——大题专攻强化练 1.已知函数 f(x)＝ 3sin24x＋sin 4xcos 4x.(1)求函数 f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数 f(x)在区间 －π 24 ，π 12 上 的最值. 2.已知向量 m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2 3sin ωx)(ω>0)，函数 f(x)＝m·n＋ 3，直线 x＝x1， x＝x2 是函数 y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π 2 .(1)求ω的值；(2)求函数 f(x)的单调递 增区间. 3.已知函数 f(x)＝ 3sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点 －π 6 ，1 是函数 f(x)图象的一个对称中心. (1)求 f(x)的解析式，并求距 y 轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数 f(x)在区间[－π，π]上 的图象. 第 13 页 共 17 页 4.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，0≤φ≤π 2 图象的相邻两对称轴之间的距离为π 2 ，且在 x＝π 8 时取得最 大值 1.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x∈ 0，9π 8 时，若方程 f(x)＝a 恰好有三个根，分别为 x1，x2，x3，求 x1＋x2＋x3 的取值范围. 1 解析：选 C 由 cos α－sin α＝1 5 ，得 1－sin 2α＝ 1 25 ，所以 sin 2α＝24 25 ，所以 cos 2α－π 2 ＝sin 2α＝ 第 14 页 共 17 页 24 25 ，故选 C. 2 解析：选 B f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x＋1＝ 3sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin 2x＋π 6 ＋2，则 f(x)的最小正周期 为2π 2 ＝π，最大值为 2＋2＝4.故选 B. 3 解析：选 D 根据函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 的图象可得 A＝2，1 2 ·2π ω ＝π 3 ＋π 6 ，∴ ω＝2. 再根据五点法作图可得 2×π 3 ＋φ＝π 2 ，∴φ＝－π 6 ， ∴函数 f(x)＝2sin 2x－π 6 ＝2sin 2 x－π 12 . 把 f(x)的图象向右平移π 12 个单位长度得到函数 g(x)＝2sin 2 x－π 12 －π 12 ＝2sin 2x－π 3 的图象，故选 D. 4 解析：选 A 函数 y＝sin 2x－π 4 的图象向左平移π 4 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 y＝ sin 2 x＋π 4 －π 4 ＝cos 2x－π 4 ，由－π＋2kπ≤2x－π 4 ≤2kπ(k∈Z)，得－3π 8 ＋kπ≤x≤π 8 ＋kπ(k∈Z)， 所以当 k＝0 时函数的一个单调递增区间是 －3π 8 ，π 8 ，所以 m 的最大值为π 8 .故选 A. 5 解析：选 C ①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确. ②中，当 x∈ π 2 ，π 时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，②错误. ③中，当 x＝0 时，f(x)＝0，当 x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令 f(x)＝0，得 x＝π. 又∵f(x)是偶函数，∴函数 f(x)在[－π，π]上有 3 个零点，③错误. ④中，∵sin |x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，当 x＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)或 x＝－π 2 ＋2kπ(k∈Z)时， f(x)能取得最大值 2，故④正确.综上，①④正确.故选 C. 6 解析：选 B 由题图可知 A＝2，则 f(x)＝2sin(2x＋θ). 因为 f(a)＝f(b)＝0，所以 f a＋b 2 ＝2，则 sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z. 由 f(a＋b)＝ 3得 sin[2(a＋b)＋θ]＝ 3 2 ，2(a＋b)＋θ＝π 3 ＋2kπ，k∈Z，或 2(a＋b)＋θ＝2π 3 ＋2kπ，k∈Z， 所以θ＝2π 3 ＋2kπ或θ＝π 3 ＋2kπ，k∈Z，又|θ|＜π 2 ，所以θ＝π 3 ， 第 15 页 共 17 页 f(x)＝2sin 2x＋π 3 .当 x∈ －5π 12 ，π 12 时，2x＋π 3 ∈ －π 2 ，π 2 ， 所以 f(x)在 －5π 12 ，π 12 上是增函数.当 x∈ π 3 ，5π 6 时，2x＋π 3 ∈(π，2π)，所以 f(x)在 π 3 ，5π 6 上先减后 增.B. 7 解析：∵ f(x)＝sin 2x＋3π 2 －3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令 t＝cos x，则 t∈[－1，1]，∴ f(x)＝－2t2－3t＋1. 又函数 f(x)图象的对称轴 t＝－3 4 ∈[－1，1]，且开口向下，∴ 当 t＝1 时，f(x)有最小值－4.答案：－4 8 解析：由三角函数的定义知 cos α＝a，sin α＝b，∴cos α＋sin α＝a＋b＝7 5 ， ∴(cos α＋sin α)2＝1＋sin 2α＝49 25 ，∴sin 2α＝49 25 －1＝24 25 ，∴cos 2α＋π 2 ＝－sin 2α＝－24 25.答案：－24 25 9 解析：由题意知 f(x)的最小正周期 T＝4，∴ω＝π 2 ，∴f(x)＝sin π 2 x＋φ .又 f(2)＝sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，∴φ＝－π 2 ，∴f(x)＝sin π 2 x－π 2 .由 x∈ 1 2 ，3 ，得 π 2 x－π 2 ∈ －π 4 ，π ， ∴sin π 2 x－π 2 ∈ － 2 2 ，1 ，即 f(x)在区间 1 2 ，3 上的值域为 － 2 2 ，1 .答案：π 2 － 2 2 ，1 10 解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4 π 3 －π 12 ＝π，∴2π ω ＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f π 3 ＝0， ∴sin 2π 3 ＋φ ＝0，∴φ＋2π 3 ＝kπ，k∈Z，即φ＝－2π 3 ＋kπ，k∈Z.∵|φ|＜π 2 ，∴φ＝π 3 ，∴f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 . (2)y＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－π 6 ＝2sin 2 x－π 4 ＋π 3 ， 故将函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向左平移π 4 个单位长度就得到函数 y＝f(x)的图象. 11 解：(1)由 m∥n 得，sin x－π 6 －cos x＝0，展开变形可得，sin x＝ 3cos x，即 tan x＝ 3. (2)f(x)＝m·n＝sin x－π 6 cos x＋1＝ 3 2 sin xcos x－1 2cos2x＋1＝ 3 4 sin 2x－cos 2x＋1 4 ＋1 第 16 页 共 17 页 ＝1 2 sin 2xcos π 6 －cos 2xsin π 6 ＋3 4 ＝1 2sin 2x－π 6 ＋3 4 ， 由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 6 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z，得－π 6 ＋kπ≤x≤π 3 ＋kπ，k∈Z. 又 x∈[0，π]，所以当 x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为 0，π 3 和 5π 6 ，π . 12 解：(1)f(x)＝2 3sin xcos x＋cos2x－sin2x＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2 3 2 sin 2x＋1 2cos 2x ＝2sin 2x＋π 6 ， 所以函数 f(x)的最小正周期 T＝π. (2)由题意可知，不等式 f(x)≥m 有解，即 m≤f(x)max，因为 x∈ 0，π 2 ，所以 2x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， 故当 2x＋π 6 ＝π 2 ，即 x＝π 6 时，f(x)取得最大值，且最大值为 f π 6 ＝2.从而可得 m≤2. 所以实数 m 的取值范围为(－∞，2]. 1 解：(1)f(x)＝ 3sin24x＋sin 4xcos 4x＝ 3×1－cos 8x 2 ＋1 2sin 8x＝1 2sin 8x－ 3 2 cos 8x＋ 3 2 ＝sin 8x－π 3 ＋ 3 2 . 令 8x－π 3 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，得 x＝kπ 8 ＋5π 48 (k∈Z)，所以函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝kπ 8 ＋5π 48 (k∈Z). (2)由(1)得 f(x)＝sin 8x－π 3 ＋ 3 2 .因为 x∈ －π 24 ，π 12 ，所以 8x－π 3 ∈ －2π 3 ，π 3 .故 sin 8x－π 3 ∈ －1， 3 2 . 所以－1＋ 3 2 ≤sin 8x－π 3 ＋ 3 2 ≤ 3，所以函数 f(x)在区间 －π 24 ，π 12 上的最大值为 3，最小值为－1＋ 3 2 . 2 解：(1)因为向量 m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2 3sin ωx)(ω>0)，所以函数 f(x)＝m·n＋ 3＝ 2sin ωxcos ωx＋sin ωx(－2 3sin ωx)＋ 3＝sin 2ωx－2 3sin2 ωx＋ 3＝sin 2ωx＋ 3cos 2ωx＝ 2sin 2ωx＋π 3 . 因为直线 x＝x1，x＝x2 是函数 y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π 2 ，所以函数 f(x)的最 小正周期为π 2 ×2＝π，即2π 2ω ＝π，得ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin 2x＋π 3 ，令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)，解得 kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋π 12 (k∈ Z)， 第 17 页 共 17 页 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－5π 12 ，kπ＋π 12 (k∈Z). 3 解：(1)f(x)＝ 3sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1＝ 3sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 ＝2sin 2ωx＋π 6 ＋1.∵点 －π 6 ，1 是函数 f(x)图象的一个对称中心，∴－ωπ 3 ＋π 6 ＝kπ，k∈Z，∴ω＝－ 3k＋1 2 ，k∈Z.∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝1 2 ，∴f(x)＝2sin x＋π 6 ＋1.由 x＋π 6 ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，得 x＝kπ＋π 3 ， k∈Z， 令 k＝0，得距 y 轴最近的一条对称轴方程为 x＝π 3 . (2)由(1)知，f(x)＝2sin x＋π 6 ＋1，当 x∈[－π，π]时，列表如下： x＋π 6 －5π 6 －π 2 0 π 2 π 7π 6 x －π －2π 3 －π 6 π 3 5π 6 π f(x) 0 －1 1 3 1 0 则函数 f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示. 4 解：(1)由题意，T＝2×π 2 ＝π，故ω＝2π π ＝2，所以 sin 2×π 8 ＋φ ＝sin π 4 ＋φ ＝1， 所以π 4 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z，所以φ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z.因为 0≤φ≤π 2 ，所以φ＝π 4 ，所以 f(x)＝sin 2x＋π 4 . (2)画出该函数的图象如图，当 2 2 ≤a<1 时，方程 f(x)＝a 恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线 x＝π 8 对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线 x＝5π 8 对称，所以 x1＋x2＝π 4 ，π≤x3<9π 8 ，所以5π 4 ≤x1＋x2＋x3<11π 8 ， 故 x1＋x2＋x3 的取值范围为 5π 4 ，11π 8 .