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- 2024-03-13 发布
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微专题 91 复数
一、基础知识:
复数题目通常在高考中有所涉及,题目不难,通常是复数的四则运算 1、复数 的代数形
式为 ,其中 称为 的实部, 称为 的虚部(而不是 ),
2、几类特殊的复数:
(1)纯虚数: 例如: , 等
(2)实数:
3、复数的运算:设
(1)
(2)
(3)
注:乘法运算可以把 理解为字母,进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式,
另一方面要计算
(4)
注:除法不要死记公式而要理解方法:由于复数的标准形式是 ,所以不
允许分母带有 ,那么利用平方差公式及 的特点分子分母同时乘以 的共轭复数即可。
4、共轭复数: , 对于 而言,实部相同,虚部相反
5、复数的模: ( )
6、两个复数相等:实部虚部对应相等
7、复平面:我们知道实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,每一个复数
都与平面直角坐标系上的点 一一对应,将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部,
横轴称为实轴,纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点:
(1)在处理复数问题时,一定要先把复数化简为标准形式,即
(2)在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如:平方差公式,立方和差
公式,二项式定理等
二、典型例题
z
,z a bi a b R a z b z bi
0, 0a b 5i i
0b
1 2, , , ,z a bi z c di a b c d R
2 1i
1 2z z a c b d i
2
1 2z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i
i
2 1i
1
2 2
2
a bi c di ac bd bc ad iz a bi
z c di c di c di c d
,z a bi a b R
i 2 1i 2z
z a bi z
2 2z a b 2z z z 2 2z z
,a bi a b R
,a b
,z a bi a b R
例 1:若复数 ,其中 是虚数单位,则复数 的模为( )
A. B. C. D. 2
思路:需要求复数的模,那首先要化成标准形式 ,进行化简,目前需要处理的就是
分式,化简再求模即可
解:
答案:A
例 2: 已知复数 ,则 ( )
A. B. C. D.
思路:本题可直接带入计算,也可考虑先化简再求值
解:
答案:B
例 3: 设 是虚数单位,且 ,则实数 等于( )
A. B. C. D.
思路:等号左边 ,若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同
乘 ,然后利用复数相等的性质求出 值
解:
答案:D
小炼有话说:
(1) 的指数幂呈周期性变化(周期为 4)即 .故可依照周
期性的想法,将 的较高指数幂进行降次。
(2)对于呈分式形式的复数等式,一般两种处理方法:一是对分式本身进行化简,二是利用
等式性质进行“去分母”(尤其是分母形式较复杂时)
22 1z i i i z
2 2
2 3
z a bi
2 122 2 2 1 11 1 1
iz i i i i ii i i
2z
1z i
2 2
1
z z
z
2i 2i 2 2
2 22 2 1 1 1 11 21 1 1
z z z z z i iz z z i
i 2014
1
i ki ki
k
2 0 1 1
2014 2 1i i
1ki k
2014 1 11 1
i k i ki ki k iki ki
1k
i 4 1 4 2 4 3 4, 1, , 1n n n ni i i i i i
i
例 4:复数 ,在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象 限 D.第四象限
思路:将复数化为标准形式后再进行判断。
解: 在复平面上对应的点为 ,所以在第三象限
答案:C
例 5:(2013 天津河东一模,1)若 是纯虚数,则实数 的值是( )
A. B. C. D. 2
思路:涉及到纯虚数的概念,所以首先把 化成标准形式,再根据纯虚数的定义即可求出
解:
由纯虚数可得
答案:C
例 6: 若复数 是纯虚数,则实数 的值是( )
A. B. C. 或 D.
思路:纯虚数:实部为零且虚部不为零,所以要将 满足的条件写全
解: 复数 是纯虚数
答案:B
例 7: 已知复数 , 是 的共轭复数,则 ( )
A. B. C. D.
思路:想到 ,进而只需将 化为标准形式后求模即可
解: ,
答案:A
3 2
1
iz i i
2 ( 1) 1 21
iz i i i ii 1, 2
1
a iz i
a
1 0 1
z a
1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
a i i a a ia i a az ii i i
1 0 12
a a
2 3 2 1a a a i a
1 2 1 2 1
a
2 3 2 1a a a i
2 3 2 0 2
1 0
a a a
a
2
3
1 3
iz
i
z z z z
1
4
1
2 1 2
2z z z z
2
3
21 3
i iz
i
2 1
4z
例 8:设 ( 是虚数单位),则 的值是____________
思路:利用等式性质两边同时乘以 ,进而可对照实部虚部求出
解:
答案:
例 9:设 是复数, (其中 表示 的共轭复数),已知 的实部是 ,则
的虚部是___________
思路: 要通过 来确定,所以考虑用待定系数法设 ,再参与运算
解: 设
的虚部是 1
答案:1
例 10:已知复数 满足 ( 是虚数单位),复数 的虚部为 ,且
是实数,则 ____________
解:设 , (目的:为了更加便于计算)
由于 是实数,所以
答案:
11 7, , 1 2
ia b R a bi i
i a b
1 2i ,a b
11 7 1 2 11 71 2
ia bi a bi i ii
2 11 52 2 11 7 2 7 3
a b aa b b a i i b a b
8a b
8a b
1z 2 1 1z z iz 1z 1z 2z 1 2z
2z 1z 1z a bi
1z a bi 2 1 1z z iz a bi i a bi a b b a i
1a b 2z
1z 1 2 1 1z i i i 2z 2 1 2z z
2z
2 2z a i 1 2z x yi 1 2 1 1z i i
1 1 1x yi i i x y x y i i
0, 1x y 1 2z i
1 2 2 2 2 2 4z z i a i a a i 1 2z z 4a
2 4 2z i
2 4 2z i