数学文卷·2018届天津和平区高三第一次模拟考试（2018 9页

天津市和平区2017-2018学年度第二学期高三年级第一次质量调查文科数学 温馨提示：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.‎ 考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 选择题（共40分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么 P(A∪B) = P(A) + P(B). P(AB) = P(A)·P(B). ‎·柱体的体积公式V = Sh. ·锥体的体积公式. ‎ 其中S表示柱体的底面积 其中S表示锥体的底面积 ‎ h表示柱体的高. h表示锥体的高.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {xï2 < x < 4}，则等于 ‎ A. {2, 3, 4} B. {1, 2, 4, 5} ‎ C. {3} D. {1, 3, 5} ‎2. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数z = x + 2y的最大值 ‎ A. 8 B. 7‎ ‎ C. 4 D. 1‎ ‎3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4. 函数f (x) = cos x(sin x - cos x) + 1的最小正周期和最大值分别为 ‎ A. 2π和1 B. π和2 C. π和 D. 2π和 ‎5. 设xÎR，则“ïx + 1ï≤2”是“-2≤x≤3”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 已知双曲线（a > 0，b > 0）的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎7. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD = DC = 2AB，E为AD的中点，若，则λ + μ的值为 ‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎8. 若曲线 与直线y = kx - 1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效.‎ ‎2. 共卷共12小题，共110分.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.‎ ‎9. 设i是虚数单位，a为实数，若复数是纯虚数，则a = __________.‎ ‎10. 直线x - y = 1被圆x2 + y2 - 2x + 4y - 3 = 0截得的弦长为__________.‎ ‎11. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为__________cm3.‎ ‎12. 已知定义域为(-1, 1)的奇函数y = f (x)又是减函数，且f (a - 1) + f (3 - a2) < 0，则a的取值范围是__________.‎ ‎13. 已知a > 0，b > 0，a + b = m，其中m为常数，则的最小值为__________.‎ ‎14. 已知函数f (x)在R上满足f (-x) = f (x)，且当xÎ[0, +¥)时，，函数，则函数h(x) = f (x) - g(x)在R上的零点个数为__________.‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知ÐA = 45°，.‎ ‎（Ⅰ）求sin C的值；‎ ‎（Ⅱ）若BC = 10，D为AB的中点，求CD的长及△ABC的面积.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 某校从参加区高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成6段[80, 90)，[90, 100)，…，[130, 140)后得到相应的频率分布直方图（如右图），观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求分数在[100, 110)内的人数；‎ ‎（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点作为代表，据此估计本次考试的平均分；‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[80, 100)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[90, 100)内的概率.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 如图，在三棱锥P - ABC中，PB⊥平面ABC，AC⊥BC，PB = 2，.D为PB的中点，E为AD的中点，点F在线段PC上，且PF = 3FC.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）求证：EF∥平面ABC；‎ ‎（Ⅲ）若，求二面角C - AD - B的度数.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足（nÎN），数列{bn}是公差为正数的等差数列，且b2 = 5，b1、b3、b11成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知函数f (x) = ln x - ax，xÎ(0, e]，其中e为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）若x = 1为f (x)的极值点，求f (x)的单调区间和最大值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得f (x)的最大值为-3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设，xÎ(0, e]，在（Ⅰ）的条件下，求证：.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：（a > b > 0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A、B为椭圆C上关于x轴对称的任意两点，P点坐标为(4, 0)，连接PB交椭圆C于另一点D，求证：直线AD恒过x轴上的定点；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x轴上的定点为M，若AB过椭圆C的左焦点，求△ABM的面积.‎ 数学（文）试卷参考答案 一. 选择题：每小题5分，满分40分.‎ ‎ 1. B 2. A 3. B 4. C ‎ 5. A 6. C 7. B 8. D 二. 填空题：每小题5分，满分30分.‎ ‎ 9. -3 10. 11. ‎ ‎ 12. 13. 14. 7‎ 三. 解答题 ‎15. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）∵，且BÎ(0°, 180°)，‎ ‎∴……………………………………………………………2分 ‎∴sin C = sin (180° - A - B) = sin (A + B) = sin Acos B + cos Asin B ……………………………………………………3分 ‎……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理，得 ‎，即. …………………………………………………6分 ‎∴.………………………………………………………………7分 在△BCD中，，由余弦定理，得…………………………………8分 CD2 = BD2 + BC2 - 2BD·BC·cos B ‎ = 49 + 100 - 2 ´ 7 ´ 10 ´= 37 ………………………………………………10分 ‎∴. ………………………………………………………………………11分 ‎△ABC的面积. ………………………13分 ‎16. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）根据频率分布直方图知，分数在[100, 110)内的频率为0.025 ´ 10 = 0.25，‎ 所求的人数为60 ´ 0.25 = 15；………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）用同一组数据区间的中点值作为代表，计算本次考试的平均分为 ‎ …6分 ‎（Ⅲ）用分层抽样方法在分数段为[80, 100)的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ 则[80, 90)应抽取人，记为A、B， ……………………………8分 [90, 100)应抽取4人，记为c、d、e、f， …………………………………………9分 从这6个人中任取2个，……………………………………………………………10分 基本事件为{A, B}，{A, c}，{A, d}，{A, e}，{A, f}，{B, c}，{B, d}，{B, e}，{B, f}，{c, d}，{c, e}，{c, f}，{d, e}，{d, f}，{e, f}共15种； ………………………………11分 至多有1人在分数段[90, 100)内的基本事件是{A, B}，{A, c}，{A, d}，{A, e}，{A, f}，{B, c}，{B, d}，{B, e}，{B, f}共9种；……………………………………………12分 故所求概率为. …………………………………………………………13分 ‎17. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，ACÌ平面ABC ∴PB⊥AC……………………………1分 又∵AC⊥BC，BC ∩ PB = B ∴AC⊥平面PBC…………………………………2分 ‎∵CDÌ平面PBC ∴AC⊥CD………………………3分 ‎（Ⅱ）取AB中点M，‎ 在线段BC上取点N使BN = 3NC ‎∵EM是△ABD中位线 ‎∴EM∥PB，……………………4分 ‎∵△CFN∽△CPB ‎∴FN∥PB，……………………………………………………………5分 ‎∴四边形EMNF是平行四边形 ∴EF∥MN………………………………………6分 ‎∵EFË平面ABC，MNÌ平面ABC ‎∴EF∥平面ABC ……………………………………………………………………7分 ‎（Ⅲ）过C作CH⊥AB，过H作HK⊥AD，‎ ‎∵PB⊥平面ABC，PBÌ平面PAB ‎∴平面PAB⊥平面ABC ‎∵AB =平面PAB ∩平面ABC ‎∴CH⊥平面PAB………………………………………8分 ‎∵ADÌ平面PAB ∴AD⊥CH 又∵HK⊥AD，CH ∩ HK = H ‎∴AD⊥平面CHK ‎∵CK平面CHK ∴CK⊥AD………………………………………………………10分 ‎∴ÐCKH即二面角C - AD - B的平面角…………………………………………11分 ‎∵，‎ ‎∴………………………………………12分 所以，二面角C - AD - B的度数为60°.…………………………………………13分 ‎18. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）在（nÎN）中，‎ 当n = 1时，，即a12 - 2a1 - 3 = 0‎ 解得a1 = 3或a1 = -1（舍）.…………………………………………………………1分 当n≥2时， ①‎ ‎ ②‎ 由①-②可得，an2 - an-12 - 2an - 2an-1 = 0， ………………………………………2分 即(an + an-1)(an - an-1 - 2) = 0‎ ‎∵an > 0（nÎN）‎ ‎∴an - an-1 = 2…………………………………………………………………………4分 ‎∴{an}是首项为3，公差为2的等差数列.‎ 故an = 2n + 1.…………………………………………………………………………5分 设数列{bn}的首项为b1，公差为d > 0，‎ 依题意 解得……………………………………7分 ‎∴bn = 3n - 1. …………………………………………………………………………8分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，an = 2n + 1，bn = 3n - 1，‎ 则………………………10分 ‎∴Tn = c1 + c2 + ¼ + cn ‎…………………………………12分 ‎……………………………………………………13分 ‎19. （本小题满分14分）‎ 解 （Ⅰ）∵f (x) = ln x - ax ‎∴ …………………………………………………………1分 由f ′(1) = 0，得a = 1…………………………………………………………………2分 故f (x) = ln x - x，.‎ 若f ′(x) > 0，则0 < x < 1，‎ 若f ′(x) < 0，则1 < x < e.‎ ‎∴f (x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e)上单调递减.……………………………………4分 ‎∴f (x)的最大值为f (1) = -1.…………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）假设存在实数a，使f (x) = ln x - ax（xÎ(0, e]）有最大值-3，‎ ‎. ……………………………………………………………6分 ‎①当a≤0时，f (x)在(0, e]上单调递增，‎ f (x)max = f (e) = 1 - ae = -3，（舍）.…………………………………………8分 ‎②当时，f (x)在(0, e]上单调递增，‎ f (x)max = f (e) = 1 - ae = -3，（舍）‎ 所以，此时f (x)无最大值.……………………………………………………………9分 ‎③当时，f (x)在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，则a = e2，满足条件.‎ 综上所述，存在实数a = e2，使得当xÎ(0, e]时，f (x)有最大值-3. ……………11分 ‎（Ⅲ）∵f (x)的极大值为-1，即f (x)在(0, e]上最大值为-1.‎ ‎∴f (x) < 0，f (x)max = -1. …………………………………………………………12分 由，得，‎ ‎∵当xÎ(0, e]时，g′(x) > 0，‎ ‎∴g(x)在区间(0, e]上单调递增.‎ ‎∴. …………………………………………………………13分 ‎∵f (x) < -1，，xÎ(0, e]，‎ ‎∴在（Ⅰ）的条件下，. ……………………………………14分 ‎20. （本小题满分14分）‎ 解 （Ⅰ）设半焦距为c，由题意，‎ 可得， …………………………………………………………………………1分 则，即.‎ 由点到直线距离公式得，‎ 故a2 = 4，b2 = 3. ……………………………………………………………………3分 ‎∴椭圆的方程为. ………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意可知直线PB的斜率存在，‎ 设直线PB的方程为y = k(x - 4). ……………………………………………………5分 将直线PB与椭圆方程联立，消去y，整理得 (4k2 + 3)x2 - 32k2x + 64k2 - 12 = 0 …………………………………………………6分 设点B(x1, y1)，D(x2, y2)，则A(x1, -y1)，‎ 直线AD的方程为.‎ 设直线AD与x轴的交点为M，令y = 0，得.………………7分 将y1 = k(x1 - 4)，y2 = k(x2 - 4)代入上式并整理，得 ……8分 将，代入上式，得 ‎ ……………………10分 所以直线AD恒过x轴上的定点M(1, 0). ………11分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知M(1, 0)，‎ 依题意，得椭圆C的左焦点为(-1, 0)，‎ 则，.……………………………………………………………12分 ‎∴△ABM的面积.………………………………14分