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  • 2024-03-10 发布

高中数学(人教版a版选修2-1)配套课时作业:第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质

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2.2.2 椭圆的简单几何性质 课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a,b 以及 c,e 的几何意义,a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的 简单问题. 1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 范围 顶点 轴长 短轴长=____,长轴长=____ 焦点 焦距 对称性 对称轴是______,对称中心是______ 离心率 2.直线与椭圆 直线 y=kx+b 与椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)的位置关系: 直线与椭圆相切⇔ y=kx+b x2 a2 +y2 b2 =1 有______组实数解,即Δ______0.直线与椭圆相交⇔ y=kx+b x2 a2 +y2 b2 =1 有 ______ 组 实 数 解 , 即 Δ______0 , 直 线 与 椭 圆 相 离 ⇔ y=kx+b x2 a2 +y2 b2 =1 ________实数解,即Δ______0. 一、选择题 1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,4 5 B.10,6,4 5 C.5,3,3 5 D.10,6,3 5 2.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( ) A.x2 36 +y2 16 =1 B.x2 16 +y2 36 =1 C.x2 6 +y2 4 =1 D.y2 6 +x2 4 =1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆x2 2 +y2 m =1 的离心率为1 2 ,则 m 等于( ) A. 3 B.3 2 C.8 3 D.2 3 4.如图所示,A、B、C 分别 为椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90°,则该椭圆的离心率为( ) A.-1+ 5 2 B.1- 2 2 C. 2-1 D. 2 2 5.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆x2 9 +y2 4 =1 的交点个数为( ) A.至多一个 B.2 C.1 D.0 A.(0,1) B. 0,1 2 C. 0, 2 2 D. 2 2 ,1 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 5 5 ,且过点 P(-5,4),则椭圆的方 程为______________. 8.直线 x+2y-2=0 经过椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离 心率等于______. 9.椭圆 E:x2 16 +y2 4 =1 内有一点 P(2,1),则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 ____________. 三、解答题 10. 如图,已知 P 是椭圆x2 a2 +y2 b2 =1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=-a2 c (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点, 若 PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e. 11.已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 能力提升 12.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 3 13.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1(- 3,0), 且右顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是 1,1 2 . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程. 1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和判 断性问题中有着重要的应用. 2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆 的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用. 3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,通过解方程或不等式可以求得离心率 的值或范围. 4.在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系. 2.2.2 椭圆的简单几何性质 知识梳理 1. 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 x2 a2 +y2 b2 =1 y2 a2 +x2 b2 =1 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 顶点 (±a,0),(0,±b) (±b,0),(0,±a) 轴长 短轴长=2b,长轴长=2a 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 2c=2 a2-b2 对称性 对称轴是坐标轴,对称中心是原点 离心率 e=c a ,0 没有 < 作业设计 1.B [先将椭圆方程化为标准形式:x2 9 +y2 25 =1, 其中 b=3,a=5,c=4.] 2.A 3.B 4.A [由(a+c)2=a2+2b2+c2, ∵b2=a2-c2,∴c2+ac-a2=0, ∵e=c a ,∴e2+e-1=0,∴e=-1+ 5 2 .] 5.B [∵ 4 m2+n2>2,∴ m2+n2<4. ∴点 P(m,n)在椭圆x2 9 +y2 4 =1 的内部, ∴过点 P(m,n)的直线与椭圆x2 9 +y2 4 =1 有两个交点.] ∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径, 由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部, 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长, ∴b>c,∴c22c2, ∴ c a 2<1 2 ,∴e=c a< 2 2 .又∵0b>0), 将点(-5,4)代入得25 a2 +16 b2 =1, 又离心率 e=c a = 5 5 ,即 e2=c2 a2 =a2-b2 a2 =1 5 , 解之得 a2=45,b2=36,故椭圆的方程为x2 45 +y2 36 =1. 8.2 5 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,又直线 x+2y-2=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、 (0,1),它们分别是椭圆的焦点与顶点,所以 b=1,c=2,从而 a= 5,e=c a =2 5 5 . 9.x+2y-4=0 解析 设弦的两个端点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x21 16 +y21 4 =1 x22 16 +y22 4 =1 , 两式相减,得x1+x2x1-x2 16 +y1+y2y1-y2 4 =0. 又 x1+x2=4,y1+y2=2,kMN=y1-y2 x1-x2 , ∴kMN=-1 2 ,由点斜式可得弦所在直线的方程为 y=-1 2(x-2)+1,即 x+2y-4=0. 10.解 依题意知 H -a2 c ,0 ,F(c,0),B(0,b). 设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程, 得 yP=b2 a .∴P c,b2 a . ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 b-0 0+a2 c = b2 a c .∴ab=c2. ∴e=c a =b c ,∴e2=a2-c2 c2 =e-2-1. ∴e4+e2-1=0.∵0