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- 2024-03-10 发布
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2.2.2 椭圆的简单几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a,b
以及 c,e 的几何意义,a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的
简单问题.
1.椭圆的简单几何性质
焦点的
位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准
方程
范围
顶点
轴长 短轴长=____,长轴长=____
焦点
焦距
对称性 对称轴是______,对称中心是______
离心率
2.直线与椭圆
直线 y=kx+b 与椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)的位置关系:
直线与椭圆相切⇔
y=kx+b
x2
a2
+y2
b2
=1 有______组实数解,即Δ______0.直线与椭圆相交⇔
y=kx+b
x2
a2
+y2
b2
=1 有 ______ 组 实 数 解 , 即 Δ______0 , 直 线 与 椭 圆 相 离 ⇔
y=kx+b
x2
a2
+y2
b2
=1 ________实数解,即Δ______0.
一、选择题
1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5,3,4
5 B.10,6,4
5
C.5,3,3
5 D.10,6,3
5
2.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( )
A.x2
36
+y2
16
=1 B.x2
16
+y2
36
=1
C.x2
6
+y2
4
=1 D.y2
6
+x2
4
=1
3.若焦点在 x 轴上的椭圆x2
2
+y2
m
=1 的离心率为1
2
,则 m 等于( )
A. 3 B.3
2 C.8
3 D.2
3
4.如图所示,A、B、C 分别
为椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90°,则该椭圆的离心率为( )
A.-1+ 5
2
B.1- 2
2
C. 2-1 D. 2
2
5.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆x2
9
+y2
4
=1 的交点个数为( )
A.至多一个 B.2
C.1 D.0
A.(0,1) B. 0,1
2
C. 0, 2
2 D.
2
2
,1
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 5
5
,且过点 P(-5,4),则椭圆的方
程为______________.
8.直线 x+2y-2=0 经过椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离
心率等于______.
9.椭圆 E:x2
16
+y2
4
=1 内有一点 P(2,1),则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为
____________.
三、解答题
10.
如图,已知 P 是椭圆x2
a2
+y2
b2
=1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O
是椭圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=-a2
c (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,
若 PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e.
11.已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
能力提升
12.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A.4
5 B.3
5 C.2
5 D.1
3
13.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1(- 3,0),
且右顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是 1,1
2 .
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.
1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和判
断性问题中有着重要的应用.
2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆
的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用.
3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,通过解方程或不等式可以求得离心率
的值或范围.
4.在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
知识梳理
1.
焦点的
位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准
方程
x2
a2
+y2
b2
=1 y2
a2
+x2
b2
=1
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
顶点 (±a,0),(0,±b) (±b,0),(0,±a)
轴长 短轴长=2b,长轴长=2a
焦点 (±c,0) (0,±c)
焦距 2c=2 a2-b2
对称性 对称轴是坐标轴,对称中心是原点
离心率 e=c
a
,0 没有 <
作业设计
1.B [先将椭圆方程化为标准形式:x2
9
+y2
25
=1,
其中 b=3,a=5,c=4.]
2.A 3.B
4.A [由(a+c)2=a2+2b2+c2,
∵b2=a2-c2,∴c2+ac-a2=0,
∵e=c
a
,∴e2+e-1=0,∴e=-1+ 5
2
.]
5.B [∵ 4
m2+n2>2,∴ m2+n2<4.
∴点 P(m,n)在椭圆x2
9
+y2
4
=1 的内部,
∴过点 P(m,n)的直线与椭圆x2
9
+y2
4
=1 有两个交点.]
∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径,
由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部,
设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立,
由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长,
∴b>c,∴c22c2,
∴
c
a 2<1
2
,∴e=c
a< 2
2 .又∵0b>0),
将点(-5,4)代入得25
a2
+16
b2
=1,
又离心率 e=c
a
= 5
5
,即 e2=c2
a2
=a2-b2
a2
=1
5
,
解之得 a2=45,b2=36,故椭圆的方程为x2
45
+y2
36
=1.
8.2 5
5
解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,又直线 x+2y-2=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、
(0,1),它们分别是椭圆的焦点与顶点,所以 b=1,c=2,从而 a= 5,e=c
a
=2 5
5 .
9.x+2y-4=0
解析 设弦的两个端点为 M(x1,y1),N(x2,y2),
则
x21
16
+y21
4
=1
x22
16
+y22
4
=1
,
两式相减,得x1+x2x1-x2
16
+y1+y2y1-y2
4
=0.
又 x1+x2=4,y1+y2=2,kMN=y1-y2
x1-x2
,
∴kMN=-1
2
,由点斜式可得弦所在直线的方程为
y=-1
2(x-2)+1,即 x+2y-4=0.
10.解 依题意知 H
-a2
c
,0 ,F(c,0),B(0,b).
设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程,
得 yP=b2
a .∴P c,b2
a .
∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 b-0
0+a2
c
=
b2
a
c
.∴ab=c2.
∴e=c
a
=b
c
,∴e2=a2-c2
c2
=e-2-1.
∴e4+e2-1=0.∵0
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