2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 11页

铜仁一中2018—2019学年度第二学期高二半期考试 数学（理科）试题 ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知函数，则（　　）‎ ‎　 A． 0 B． 1 C．2 D．‎ ‎2．在下列命题中，不是公理的是（ ）‎ A. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 B. 平行于同一个平面的两个平面相互平行 ‎ C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 ‎3．等于（ ）‎ ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎4.下列说法中，正确的个数为（ ）‎ ‎①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形；‎ ‎③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．.已知=(-2,1,3),=(-1,2,1),若⊥(-λ),则实数λ的值为 (　　)‎ A. B. C. D.2‎ ‎6．已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 若函数在区间内是单调递减函数，则函数在区间内的图象 可以是（ ）‎ ‎8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AM‎=‎‎1‎‎2‎MC‎1‎,N为B1B的中点,则|MN|等于 (　　)‎ A. B. C. D.[]‎ ‎9．若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎10．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎11．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．0‎ ‎12．已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（选择题，共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知函数,则 的值为 .‎ ‎14. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎15．如图，棱长为2的正方体中，M是棱AA1的中点，‎ 过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.‎ ‎16．设是的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数（）都有对称中心，其中x0满足．已知，则_________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知函数在处取得极值．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）过点作曲线的切线,求此切线方程．‎ ‎18. (本小题满分12分) ‎ 如图，底面 是边长为1的正方形， ， ，‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求二面角 的余弦值. ‎ ‎ ‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间;‎ ‎（2）若在处取得极值,直线与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分12分) ‎ 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．‎ ‎（1）若 ，则仓库的容积是多少；‎ ‎（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎21． (本小题满分12分) ‎ 如图，四棱锥中，⊥底面，，,‎ ‎，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎（1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；‎ ‎（3）若恒成立，求实数的取值范围．‎ 铜仁一中2018-2019学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B B C D D B A B B C A ‎[]‎ 二、 填空题 13. ‎ 2 14. 4 15. 16. 4036 ‎ ‎17.解：（1）是方程的两个根，‎ 由韦达定理：，解得：.‎ ‎(2)由上可知：‎ 易知点不在函数图象上，设切点为斜率 则切线方程为：即：‎ 过点则：切线方程为：‎ ‎18.解：（1）证明：DE平面ABCD，AC平面ABCD，‎ ‎ 所以DEAC,‎ ‎ 又底面ABCD是正方形，‎ ‎ ACBD.‎ BDDE=D,‎ AC平面BDE.‎ ‎（2）解：DA,DC,DE两两垂直，‎ 以D为原点，DA方向为X轴，DC方向为Y轴，DE 方向为Z轴建立空间直角坐标系，‎ 由已知可得DBE=60°，‎ ‎,‎ 由AD=1，可知BD=,DE=，AF=.‎ 则A(1,0,0), F(1,0,), E(0,0,), B(1,1,0), C(0,1,0),‎ ‎ ‎ 设平面BDE的一个法向量为 则,即 令z=则 AC平面BDE，‎ 为平面BDE的一个法向量，‎ ‎，‎ 二面角 为锐角，‎ 二面角 的余弦值为 ..‎ ‎19．解:(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a),‎ 当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,‎ ‎∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).‎ 当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-a或x>a.‎ 由f'(x)<0,解得-a0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调减区间为(-a‎,‎a).‎ ‎(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,‎ ‎∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,‎ ‎∴a=1.‎ ‎∴f(x)=x3-3x-1,‎ f'(x)=3x2-3.‎ 由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.‎ 由(1)中f(x)的单调性可知,‎ f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,‎ 在x=1处取得极小值f(1)=-3.‎ ‎∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,‎ 结合如图所示f(x)的图象可知:‎ 实数m的取值范围是(-3,1).‎ ‎20.（1），则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，故仓库的容积为．‎ ‎（2）设(m)，仓库的容积为，‎ 则(m)，(m)，(m)，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ 当时，，单调递增；当时，，‎ 单调递减．‎ 故当时，取到最大值，即(m)时，仓库的容积最大．‎ ‎21.解（Ⅰ）由已知得，‎ 取的中点，连接．‎ 由为中点知，． ‎ 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．‎ 因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，‎ 且．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 可取，‎ 于是．‎ 22. 解：（1）定义域为（0，+）.‎ ‎ ‎ ‎ 依题意，解得.‎ （2） 时，定义域为（0，+），‎ ‎，‎ 当或时，‎ 当时，，‎ 故的单调递增区间为，（1，+），单调递减区间为（）.‎ (3) 由，得在时恒成立，‎ ‎ 令则，‎ ‎ 令则 ‎ 所以在（1，+）为增函数，.‎ ‎ 故，故在为增函数.‎ ‎ ‎ ‎ 所以，即实数的取值范围为