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- 2024-03-08 发布
铜仁一中2018—2019学年度第二学期高二半期考试
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知函数，则（ ）
A． 0 B． 1 C．2 D．
2．在下列命题中，不是公理的是（ ）
A. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
B. 平行于同一个平面的两个平面相互平行
C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
3．等于（ ）
A. 1 B. C. D.
4.下列说法中，正确的个数为（ ）
①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形；
③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．.已知=(-2,1,3),=(-1,2,1),若⊥(-λ),则实数λ的值为 ( )
A. B. C. D.2
6．已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）.
A. B. C. D.
7. 若函数在区间内是单调递减函数，则函数在区间内的图象
可以是（ ）
8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AM=12MC1,N为B1B的中点,则|MN|等于 ( )
A. B. C. D.[]
9．若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.
A. B. C. D.
10．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．0
12．已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A B．
C． D．
第Ⅱ卷（选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数,则 的值为 .
14. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 .
15．如图，棱长为2的正方体中，M是棱AA1的中点，
过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.
16．设是的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数（）都有对称中心，其中x0满足．已知，则_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）过点作曲线的切线,求此切线方程．
18. (本小题满分12分)
如图，底面 是边长为1的正方形， ， ，
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．(本小题满分12分)
.已知函数.
（1）求的单调区间;
（2）若在处取得极值,直线与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
20.(本小题满分12分)
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．
（1）若 ，则仓库的容积是多少；
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
21． (本小题满分12分)
如图，四棱锥中，⊥底面，，,
，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．(本小题满分12分)
已知函数
（1）若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
铜仁一中2018-2019学年度第二学期期中考试
高二数学（理科）参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
C
D
D
B
A
B
B
C
A
[]
二、 填空题
13. 2 14. 4 15. 16. 4036
17.解：（1）是方程的两个根，
由韦达定理：，解得：.
(2)由上可知：
易知点不在函数图象上，设切点为斜率
则切线方程为：即：
过点则：切线方程为：
18.解：（1）证明：DE平面ABCD，AC平面ABCD，
所以DEAC,
又底面ABCD是正方形，
ACBD.
BDDE=D,
AC平面BDE.
（2）解：DA,DC,DE两两垂直，
以D为原点，DA方向为X轴，DC方向为Y轴，DE 方向为Z轴建立空间直角坐标系，
由已知可得DBE=60°，
,
由AD=1，可知BD=,DE=，AF=.
则A(1,0,0), F(1,0,), E(0,0,), B(1,1,0), C(0,1,0),
设平面BDE的一个法向量为
则,即
令z=则
AC平面BDE，
为平面BDE的一个法向量，
，
二面角 为锐角，
二面角 的余弦值为 ..
19．解:(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,
∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-a或x>a.
由f'(x)<0,解得-a0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调减区间为(-a,a).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,
∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,
f'(x)=3x2-3.
由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,
f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,
在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
结合如图所示f(x)的图象可知:
实数m的取值范围是(-3,1).
20.（1），则
，
，
，故仓库的容积为．
（2）设(m)，仓库的容积为，
则(m)，(m)，(m)，
，，
当时，，单调递增；当时，，
单调递减．
故当时，取到最大值，即(m)时，仓库的容积最大．
21.解（Ⅰ）由已知得，
取的中点，连接．
由为中点知，．
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，
且．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，
，，，，
，，
．
设为平面的法向量，则，即，
可取，
于是．
22. 解：（1）定义域为（0，+）.
依题意，解得.
（2） 时，定义域为（0，+），
，
当或时，
当时，，
故的单调递增区间为，（1，+），单调递减区间为（）.
(3) 由，得在时恒成立，
令则，
令则
所以在（1，+）为增函数，.
故，故在为增函数.
所以，即实数的取值范围为