数学文卷·2018届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）（2018 12页

‎2018年石景山区高三统一测试 数学（文）试卷 考生须知 ‎1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减的函数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知平面向量满足，与的夹角为，若，则 实数的值为（ ）‎ ‎ A． B. C． D．‎ ‎6. “”是“”的（ ）‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎7. 若某多面体的三视图（单位：）如图所示，‎ 则此多面体的体积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.复数=___________.‎ ‎10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.‎ ‎11.若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________________________.‎ ‎12.在中，，，，则的面积等于________．‎ ‎13.在等差数列中，如果是与的等比中项，那么_____．‎ ‎14.已知函数.‎ ‎①当时，函数的零点个数为__________；‎ ‎②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为__________．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期;‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 在等差数列中，，其前项和满足.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 ‎20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：‎ ‎102 52 41 121 72 ‎ ‎162 50 22 158 46‎ ‎43 136 95 192 59‎ ‎99 22 68 98 79‎ 对这20个数据进行分组，各组的频数如下：‎ 组别 红包金额分组 频数 A ‎0≤x＜40‎ ‎2‎ B ‎40≤x＜80‎ ‎9‎ C ‎80≤x＜120‎ m D ‎120≤x＜160‎ ‎3‎ E ‎160≤x＜200‎ n ‎（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；‎ ‎（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额 的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）‎ ‎（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题共14分）‎ 如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．‎ ‎（Ⅰ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若为中点，在棱上，且，‎ 求证：//平面．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题共13分）‎ 已知椭圆E:的离心率，焦距为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆E于点．证明：为定值（为坐标原点）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题共14分）‎ 设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数零点的个数；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018年石景山区高三统一测试 数学（文）试卷答案及评分参考 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B B C D A A B ‎ ‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎ ‎ 三、解答题共6小题，共80分．‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ………………5分 所以周期为. ………………6分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以. ………………7分 所以当时，即时.‎ ‎ 当时,即时. …………13分 ‎ ‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 因为， ………………2分 所以，所以. ………………4分 所以，所以.‎ 所以. ………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以.‎ 所以. ………………9分 所以 ‎ ………………13分 ‎（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）m=4，n=2，B； ………………3分 ‎（Ⅱ）<，<； ………………6分 ‎（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192‎ ‎ 任取两个数据，可能的组合为 ‎(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，‎ 共6种结果 记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果 ‎ 所以. ……………… 13分 ‎18.（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）因为是正三角形，且，‎ 所以． ………………2分 又⊥平面， ………………3分 故S△BCD． ………………4分 ‎（Ⅱ）在底面中，取的中点，连接，‎ 因，故．‎ 因，故为的中点．‎ 又为的中点，故∥，‎ 故．……5分 因平面，平面，‎ 故平面平面．‎ 是正三角形，为的中点，‎ 故，‎ 故平面． ………………7分 平面，故． ………………8分 又，故平面． ………………9分 ‎（Ⅲ）当时，连，设，连．‎ 因为的中点，为中点，‎ 故为△的重心，． ………………10分 因，，故，‎ 所以∥． ………………12分 又平面，平面，所以∥平面． ……14分 ‎19.（本小题13分）‎ ‎（Ⅰ）解：因为， 所以． ………………1分 因为，所以． ………………3分 因为， 所以． ………………4分 所以椭圆方程为． ………………5分 ‎（Ⅱ）方法一：‎ 证明：C(－2，0)，D(2，0)，‎ 设，‎ 则＝，＝． ………………7分 直线CM：，即． ………………8分 代入椭圆方程，‎ 得，‎ 所以． ………………10分 所以．‎ 所以＝． ………………12分 所以·＝．‎ 即·为定值． ………………13分 方法二：设，‎ 由可得，即.‎ ‎∵点在上 ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴为定值.‎ 方法三：因为直线不在轴上，故可设.‎ 由得，‎ ‎∴，即．‎ 在直线中令，则，即．‎ ‎∴.‎ ‎∴为定值.‎ ‎20.（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以当时，，在上单调递减；‎ ‎ 当时，，在上单调递增；‎ 所以当时，取得极小值． ………………3分 ‎（Ⅱ），‎ 令，得．‎ 设，则．‎ 所以当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减；‎ 所以的最大值为，又，可知：‎ ‎①当时，函数没有零点；‎ ‎②当或时，函数有且仅有1个零点；‎ ‎③当时，函数有2个零． ……………9分 ‎（Ⅲ）原命题等价于恒成立．.‎ 设，‎ 则等价于在上单调递减．‎ 即在上恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 所以．‎ 即的取值范围是． ………………14分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【注：若有其它解法，请酌情给分】‎ ‎ ‎