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- 2024-03-06 发布
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课时分层训练(十五)
导数与函数的极值、最值
(对应学生用书第194页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
C [函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．
又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1.]
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，
∴a＞6或a＜－3.]
3．(2018·太原模拟)函数y＝f(x)导函数的图像如图2123所示，则下列说法错误的是( )
图2123
A．函数y＝f(x)在区间(－1,3)上是增加的
B．函数y＝f(x)在区间(3,5)上是减少的
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
C [由函数y＝f(x)导函数的图像可知：
当x＜－1及3＜x＜5时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当－1＜x＜3及x＞5时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3,5)；单调增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，
f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，
故选项C错误，故选C．]
4．(2018·重庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
【导学号：00090075】
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
C [f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴⇒⇒或.
①当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，∴在x＝1处不存在极值；
②当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．
∴x∈，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，符合题意．
∴，∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.]
5．(2018·武汉模拟)已知a∈R，若f(x)＝ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是( )
A．a＜0 B．a＞0
C．a≤1 D．a≥0
B [f′(x)＝(ax2＋x－1)，
若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，
则f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一个零点，
显然＞0，问题转化为g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，
故g(0)·g(1)＜0，即，解得：a＞0，故选B．]
二、填空题
6．(2018·包头模拟)设函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
2 [由f(x)＝x3－3x＋1，得f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)＞0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0.
∴函数f(x)的增区间为(－2，－1)，(1,2)；减区间为(－1,1)．
∴当x＝－1时，f(x)有极大值3；当x＝1时，f(x)有极小值－1.
又f(－2)＝－1，f(2)＝3.
∴最大值为M＝3，最小值为m＝－1，
则M＋m＝3－1＝2.]
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋A．
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
【导学号：00090076】
30 23 000 [设该商品的利润为y元，由题意知，
y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
则y′＝－3p2－300p＋11 700，
令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，
当p∈(0,30)时，y′＞0，当p∈(30，＋∞)时，y′＜0，
因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；
(2)当a<0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．
[解] (1)f′(x)＝－3x2＋2ax.
依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，
即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，
即a的取值范围是[3，＋∞). 5分
(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)．
∵a＜0，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)递减．
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增．
当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减. 8分
∴⇒
∴f(x)＝－x3－3x2＋1. 12分
10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．
[解] (1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为
eq f(kb,(18－x)2)，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.
5分
(2)因为a＝1，所以y＝＋，
y′＝k， 8分
令y′＝0，得x＝，
又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，
所以，污染源B的污染强度b的值为8. 12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝x2－aln x＋1在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a＜1 B．－1＜a＜1
C．0＜a＜1 D．0＜a＜
C [函数f(x)＝x2－aln x＋1，(a∈R)，f′(x)＝x－，
∵函数f(x)在(0,1)内有最小值，
∴f′(x)＝0在(0,1)上有解．函数有极小值也为最小值．
∴x－＝0，x∈(0,1)⇔＜1，a∈(0,1)．
并且x∈(0，)，f′(x)＜0，x∈(，1)，f′(x)＞0，
即x＝时函数取得最小值，也是极小值．
∴0＜a＜1.]
2．(2018·郴州模拟)已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．
1－e [先求出x＞0时，f(x)＝－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.]
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【导学号：00090077】
[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋B． 2分
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得 5分
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－2)上是增加的； 7分
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－2,2)上是减少的； 8分
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(2，＋∞)上是增加的．
由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，
f(－2)＝16＋c，
f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12. 10分
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，
f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. 12分
