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- 2024-03-06 发布
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2012年高三教学测试（二）
文科数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
．
如果事件A，B相互独立，那么
．
如果事件A在一次试验中发生的概率是，
那么次独立重复试验中事件恰好发生次
的概率
．
球的表面积公式
，
其中R表示球的半径．
球的体积公式
，
其中R表示球的半径．
棱柱的体积公式
，
其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高．
棱锥的体积公式
，
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高．
棱台的体积公式
，
其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．若，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为
A．2 B．-2 C． D．
4．下列函数中，最小正周期为的奇函数是
A． B．
C． D．
S=0，i=1
是
否
S=S+2i
i=i+1
输出S
开始
（第5题）
结束
5．某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是
A． B．
C． D．
6．设是不同的直线，是不同的平面
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
7．从3名男生和2名女生中选出2名学生参加某项活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率为
A． B． C． D．
8．在中，角的对边分别为，若，则
A． B． C．或 D．或
9．已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
10．设实数，已知函数，，令 ，若函数有三个零点，则的值是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
0 5
1 1 3 4 5
2 0
（第11题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．已知某总体的一个样本数据如茎叶图所示，则该总体的平均值是 ▲ ．
12．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数 ▲ ．
13．已知，，若，则 ▲ ．
14．设实数满足不等式组，若的最大值为12，则实数的值为 ▲ ．
（第15题）
2
1
15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ▲ ．
16．若直线与圆相切，则的最小值是 ▲ ．
17．已知公比不为1的等比数列的前项和为
，若，且成等差数列，则的最大值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共72分）
18．（本题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值．
19．（本题满分14分）
在等差数列和等比数列中，，，（），且成等差数列，成等比数列．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前和．
20．（本题满分14分）
A
B
C
P
A1
B1
C1
（第20题）
如图，已知三棱柱的各棱长均为2，P是BC的中点，侧面底面，且侧棱与底面所成的角为．
（Ⅰ）证明：直线∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本题满分15分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数（），使得对任意的，恒有成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
22．（本题满分15分）
已知抛物线 的准线方程为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率之和为．求常数，使得对于任意的实数，直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
2012年高三教学测试（二）
文科数学 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．A；
6．D； 7．A； 8．B； 9．C； 10．D．
10．提示：作函数的图象，由方程得，即交点，又函数有三个零点，即函数的图象与直线有三个不同的交点，由图象知在上，解得．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．13； 12．4； 13．2或； 14．；
15．； 16．2； 17．7．
17．提示：，当时，有最大值7．
三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分）
18．（本题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值．
解：（Ⅰ）
． …4分
由，得（）．
∴函数的单调递增区间是（）． …6分
（Ⅱ）∵，∴，． …8分
∵，∴，
． …11分
∴． …14分
19．（本题满分14分）
在等差数列和等比数列中，，，（），且成等差数列，成等比数列．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前和．
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由题意，得，解得． …3分
∴，． …7分
（Ⅱ）． …10分
∴
． …14分
20．（本题满分14分）
如图，已知三棱柱的各棱长均为2，P是BC的中点，侧面底面，且侧棱与底面所成的角为．
（Ⅰ）证明：直线∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（第20题）
解：（Ⅰ）连接A1B交AB1于Q，
则Q为A1B中点，连结PQ，
∵P是BC的中点，∴PQ∥A1C． …4分
∵PQ平面AB1P，A1C 平面AB1P，
∴A1C∥平面AB1P． …6分
（第20题）
（Ⅱ）取中点，连、，
则．
∵平面平面，
∴平面平面．
∴平面．
∴为直线与平面所成的角． …9分
在正中，边长为2，是中点，∴． …10分
∵面平面，
∴为与平面所成的角，即． …11分
在菱形中，边长为2，，是中点，
∴，∴． …12分
在中，，，从而．
∴．
∴直线与平面所成角的正弦值为． …14分
21．（本题满分15分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数（），使得对任意的，恒有成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
解：（Ⅰ），（）． …3分
∵，∴切点为，切线斜率．
∴在处的切线方程为． …6分
（Ⅱ）在上恒成立，
也就是在上的最大值小于0．
=，
=（）． …9分
（1）若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴的最大值为，∴． …11分
（2）若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴的最大值为，从而． …13分
其中，由，得，这与矛盾．
综合（1）（2）可知：
当时，对任意的，恒有成立． …15分
22．（本题满分15分）
已知抛物线 的准线方程为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率之和为．求常数，使得对于任意的实数，直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：（Ⅰ）∵，∴．
∴抛物线C的准线方程为：． …3分
∴，解得．
∴抛物线C的方程是． …6分
（Ⅱ），设A，B，
由，得．
∴，，． …8分
． …10分
∴．∴直线．
令对任意的恒成立． …12分
则，解得．
所以，，直线过定点． …15分
