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- 2024-03-05 发布
江西省2018年高中毕业班新课程教学质量监测卷
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”.设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（ ）
A．6斤 B．10斤 C．12斤 D．15斤
4.已知向量，的夹角为，且，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
5.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或
C． D．
6.执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A．21 B．43 C．53 D．64
7.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．11 D．40
8.若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（ ）
A． B． C． D．
9.已知等比数列的首项，前项和为，若，则数列的最大项等于（ ）
A．-11 B． C． D．15
10.已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
11.定义在上的偶函数（其中为自然对数的底），记，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12.已知直线：与抛物线：相交于，两点，与轴相交于点
，点满足，，过点作抛物线的切线，与直线相交于点，则的值（ ）
A．等于8 B．等于4 C．等于2 D．与有关
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中的系数为 ．
14.设函数，其中，，，若对一切恒成立，则函数的单调递增区间是 ．
15.在圆：上任取一点，则锐角（为坐标原点）的概率是 ．
16.四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18.为选拔选手参加“中国诗词大会”，某中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.
（1）求样本容量和频率分布直方图中、的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的2名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
19.如图平行六面体中，，，，，，平面平面.
（1）求该平行六面体的体积；
（2）设点是侧棱的中点，求二面角的余弦值.
20.已知椭圆：的离心率，过点、分别作两平行直线、，与椭圆相交于、两点，与椭圆相交于、两点，且当直线过右焦点和上顶点时，四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若四边形是菱形，求正数的取值范围.
21.已知函数（其中为自然对数的底，）的导函数为.
（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；
（2）设点，是函数图象上两点，若对任意的，割线的斜率都大于，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若的最小值为2，求的值；
（2）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
2018年高三理科数学考试题参考答案
必做部分
一、选择题
1-5: ABDBD 6-10: BCADC 11、12：AC
二、填空题
13. 160 14. 15. 16.
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由得，
，
所以；
（Ⅱ），设，
，
由余弦定理得：，
所以，
所以的面积．
18．解析（1）由题意可知，样本容量，
；
（2）分数在内的学生有人， 分数在内的学生有人，
抽取的2名学生中得分在的人数X可能取值0，1，2，
则，， ，
则的分布列为
0
1
2
所以．
19.解：（Ⅰ），所以，
，
又平面平面， 平面，
，即该平行六面体的体积；
（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，所以点坐标为，
设平面的法向量，
由，
由，令，
所以，又平面的法向量为.
，所以所求二面角的余弦值为．
20．解：（Ⅰ），椭圆方程可以化为，
直线过右焦点和上顶点时，方程可以设为，联立得：
，所以四边形的面积为，
所以椭圆方程为：；
（Ⅱ）依题意可以分别设的方程为：，由椭圆的对称性得：，所以是平行四边形，所以是菱形，等价于，即，
将直线的方程代入椭圆方程得到：，
由，
设，由，
得到：，
从而：，化简得：，
所以解得，
所以正数的取值范围是．
21.解：（1）时，由，记，
，当时，，当时，，所以当时，取得极小值，
①当即时，函数在区间上无零点；
②当即时，函数在区间上有一个零点；
③当即时，函数在区间上有两个零点；
（2），
，，
依题意：对任意的，都有，
即，
记，，
记，则. 记，
则，
所以时，递增，所以，
①当即时，，即，所以在区间上单调递增，所以，得到，从而在区间上单调递增，
所以恒成立；
②当即时，因为时，递增，所以，
所以存在，使得时，即，所以在区间上单调递减，所以时，即，
所以时，在区间上单调递减，所以时，，从而不恒成立。综上：实数的取值范围是．
选做部分
22.解析：（Ⅰ） ；…5分
（Ⅱ）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角
坐标方程联立，得，整理得
，
则.
23.解析：（Ⅰ） ，
当且仅当取介于和之间的数时，等号成立，
故的最小值为， ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，
故，使成立，
即 ，， .