高考数学专题复习练习：第九章 9_7抛物线的概念 19页

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 ‎【知识拓展】‎ ‎1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，‎ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)‎ ‎(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　×　)‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)‎ ‎(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　)‎ ‎1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)‎ A．(0,2) B．(0,1)‎ C．(2,0) D．(1,0)‎ 答案　D 解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，‎ ‎∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．‎ ‎2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.‎ 根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.‎ ‎3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)‎ A. B．[－2,2]‎ C．[－1,1] D．[－4,4]‎ 答案　C 解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，‎ 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，‎ 解得－1≤k≤1.‎ ‎4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________．‎ 答案　y2＝－8x或x2＝－y 解析　设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.‎ ‎5．(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，‎ 圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，‎ 则圆心为(3,0)，半径为4.‎ 又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，‎ 解得p＝2.‎ 题型一　抛物线的定义及应用 例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ 答案　4‎ 解析　如图，‎ 过点B作BQ垂直准线于点Q，‎ 交抛物线于点P1，‎ 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.‎ 引申探究 ‎1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．‎ 解　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．‎ ‎∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，‎ ‎∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ‎＝＝2，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为2.‎ ‎2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．‎ 解　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．‎ 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，‎ 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.‎ 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，‎ 所以d1＋d2的最小值为3－1.‎ 思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ ‎　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．‎ 答案　 解析　如图，‎ 易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，‎ 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．‎ 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，‎ 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，‎ 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，‎ 此时最小值为＝.‎ 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 命题点1　求抛物线的标准方程 例2　已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 答案　D 解析　∵－＝1的离心率为2，‎ ‎∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.‎ x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.‎ 命题点2　抛物线的几何性质 例3　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．‎ 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，‎ 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝(定值)．‎ ‎(3) 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 思维升华　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ ‎　(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，‎ 又可设A(x0,2)，‎ D，‎ 点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①‎ 点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②‎ 点D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴5＋2＝r2，③‎ 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.‎ ‎(2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，‎ 由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.‎ ‎|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.‎ 又ab≤()2，‎ 所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，‎ 得到|AB|≥(a＋b)，‎ 所以≤＝，‎ 即的最大值为.‎ 题型三　直线与抛物线的综合问题 命题点1　直线与抛物线的交点问题 例4　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.‎ 答案　2‎ 解析　抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，‎ y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.‎ 因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，‎ 将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.‎ 命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题 例5　(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎(1)证明　由题意知，F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，‎ 且A，B，P，Q，‎ R.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)解　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，‎ S△PQF＝.‎ 由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，‎ 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)．‎ 思维升华　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ ‎　(2017·北京东城区质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ 解　(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝.‎ 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝×，‎ 解得p＝－2(舍去)或p＝2.‎ 所以C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)依题意知l与坐标轴不垂直，‎ 故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．‎ 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，‎ ‎|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．‎ 又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.‎ 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，‎ 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．‎ 故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，‎ ‎|MN|＝ |y3－y4|＝，‎ 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，‎ 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，‎ 即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2‎ ‎＝，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.‎ 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎ ‎7．直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例　(12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.‎ ‎(1)求抛物线C的焦点坐标；‎ ‎(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；‎ ‎(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 思维点拨　(3)中证明·＝0.‎ 解　(1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)．[2分]‎ ‎(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.[4分]‎ ‎(3)存在，联立方程 消去y得mx2－2x－2＝0，‎ 依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.[6分]‎ 设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)‎ ‎∵P是线段AB的中点，∴P(，)，‎ 即P(，yP)，∴Q(，)．[8分]‎ 得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，‎ 若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，‎ 即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，[10分]‎ 结合(*)化简得－－＋4＝0，‎ 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，‎ 而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)．‎ ‎∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]‎ 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：‎ 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；‎ 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；‎ 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；‎ 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为(　　)‎ A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 答案　C 解析　由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，‎ 联立消去x得y2－2pmy－p2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，‎ 得·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12⇒p＝4，‎ 即抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2‎ 答案　B 解析　∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，‎ 即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，‎ 即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，‎ ‎∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.‎ ‎3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案　C 解析　∵抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F(，0)，‎ ‎∴|OF|＝，‎ ‎∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝ ，‎ ‎∴sin∠OAF＝＝，‎ 根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，‎ ‎∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝，‎ ‎∵|MF|＝5，|AF|＝ ，‎ ‎∴ ＝，‎ 整理得4＋＝，解得p＝或p＝，‎ ‎∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.‎ ‎4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)‎ A．－4 B．4 C．p2 D．－p2‎ 答案　A 解析　①若焦点弦AB⊥x轴，‎ 则x1＝x2＝，∴x1x2＝；‎ ‎∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，‎ ‎∴＝－4.‎ ‎②若焦点弦AB不垂直于x轴，‎ 可设AB的直线方程为y＝k(x－)，‎ 联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，‎ 则x1x2＝.‎ ‎∴y1y2＝－p2.故＝－4.‎ ‎5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案　C 解析　如图，‎ 分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，‎ ‎∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.故选C.‎ ‎6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，‎ 如图，‎ 过P作PN垂直直线x＝－1于N，‎ 由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，‎ 在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，‎ 当＝最小时，sin∠PAN最小，‎ 即∠PAN最小，即∠PAF最大，‎ 此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，‎ 联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，‎ 所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，‎ 解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，‎ ＝＝cos∠NPA＝，故选B.‎ ‎7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 答案　12‎ 解析　焦点F的坐标为，‎ 方法一　直线AB的斜率为，‎ 所以直线AB的方程为y＝，‎ 即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，‎ 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.‎ 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得 ‎|AB|＝＝＝12.‎ ‎8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.‎ 答案　2‎ 解析　如图， ‎ 由AB的斜率为，‎ 知∠α＝60°，又＝，‎ ‎∴M为AB的中点．‎ 过点B作BP垂直准线l于点P，‎ 则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，‎ ‎∴|BP|＝|AB|＝|BM|.‎ ‎∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.‎ ‎9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A ‎，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.‎ 答案　6‎ 解析　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，‎ 准线方程为x＝－2.‎ 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题意，c＝2，＝，‎ 可得a＝4，b2＝16－4＝12.‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ 把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.‎ 从而|AB|＝6.‎ ‎*10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．‎ 答案　(2,4)‎ 解析　如图，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，‎ 则 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．‎ 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．‎ 当k存在时，x1≠x2，‎ 则有·＝2，‎ 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.‎ 由CM⊥AB，得k·＝－1，‎ 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，‎ 即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，‎ 得y2＝12，则有－24(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，‎ 所以40)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且·＝0.‎ ‎(1)求该抛物线的标准方程；‎ ‎(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．‎ 解　(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ ‎∵·＝0，则x1x2＋y1y2＝0.‎ 又点P，Q在抛物线上，∴y＝2px1，y＝2px2，‎ 代入得·＋y1y2＝0，‎ y1y2＝－4p2，∴|x1x2|＝＝4p2.‎ 又|x1x2|＝4，‎ ‎∴4p2＝4，p＝1，‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2＝2x.‎ ‎(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x＝my＋a，‎ 联立方程组 消去x得y2－2my－2a＝0，‎ ‎∴①‎ 设直线PR与x轴交于点M(b,0)，‎ 则可设直线PR的方程为x＝ny＋b，‎ 并设R(x3，y3)，同理可知，‎ ②‎ 由①②可得＝.‎ 由题意得，Q为线段RT的中点，‎ ‎∴y3＝2y2，∴b＝2a.‎ 又由(1)知，y1y2＝－4，代入①，‎ 可得－2a＝－4，∴a＝2，‎ ‎∴b＝4，y1y3＝－8，‎ ‎∴|PR|＝|y1－y3|‎ ‎＝· ‎＝2·≥4.‎ 当n＝0，即直线PR垂直于x轴时，‎ ‎|PR|取最小值4.‎ ‎*13.如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“‎ 黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(－，)．‎ ‎(1)求“黄金抛物线C”的方程；‎ ‎(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使 得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和(－，)，‎ ‎∴r2＝(－)2＋()2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.‎ ‎∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．‎ ‎(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l：y＝kx＋1，联立消去y，‎ 得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝，yB＝，‎ 即B(，)，‎ ‎∴kBQ＝，‎ 联立消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，‎ ‎∴xA＝－，yA＝，即A(－，)，‎ ‎∴kAQ＝－，‎ ‎∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，‎ ‎∴－＝0，解得k＝－1±，‎ 由图形可得k＝－1－应舍去，∴k＝－1，‎ ‎∴存在直线l：y＝(－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.‎