2020高中数学 课时分层作业28 简单的三角恒等变换 新人教A版必修4 7页

课时分层作业(二十八)　简单的三角恒等变换 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)‎ A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 D　[原式＝ ‎＝(1－sin 2x)‎ ‎＝－sin 2x，‎ 此函数既不是奇函数也不是偶函数．]‎ ‎2．已知＝，则的值为(　　)‎ A．　　　　 B．－　　　　‎ C．　　　　 D．－ B　[∵·＝＝＝－1‎ 且＝，∴＝－.]‎ ‎3．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos ‎2A＝(　　) ‎ ‎【导学号：84352345】‎ A．－　　　　　　　　 B． C．－ D． A　[sin2＋cos ‎‎2A ‎＝＋2cos‎2A－1‎ ‎＝＋2cos‎2A－1‎ 7‎ ‎＝－.]‎ ‎4．将函数y＝f(x)sin x的图象向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)的表达式是(　　)‎ A．f(x)＝cos x B．f(x)＝2cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝2sin x B　[y＝1－2sin2x＝cos 2x的图象关于x轴对称的曲线是y＝－cos 2x，向左平移得y＝－cos＝sin 2x＝2sin xcos x，∴f(x)＝2cos x．]‎ ‎5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)‎ ‎ 【导学号：84352346】‎ A．2π， B．π， C．2π， D．π， B　[∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x ‎＝1＋sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得f(x)的单调减区间为 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin的值等于________．‎ ‎－　[由sin2＝，‎ ‎∵θ∈(5π，6π)，∴∈，‎ 7‎ ‎∴sin＝－＝－.]‎ ‎7．化简下列各式：‎ ‎(1)＜α＜，则＝________.‎ ‎(2)α为第三象限角，则－＝________. ‎ ‎【导学号：84352347】‎ ‎(1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin α＞cos α，‎ ‎∴＝ ‎＝ ‎＝＝sin α－cos α.‎ ‎(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，‎ ‎∴－＝－ ‎＝－＝0.]‎ ‎8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．‎ ‎[－5,3]　[f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.‎ 当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，‎ 当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，‎ 所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]‎ 三、解答题 ‎9．求证：tan－tan＝. ‎ ‎【导学号：84352348】‎ ‎[证明]　法一：(由左推右)tan－tan ‎＝－ ‎＝ 7‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 法二：(由右推左) ‎＝ ‎＝ ‎＝－＝tan－tan.‎ ‎10．已知向量a＝(cos θ－2sin θ，2)，b＝(sin θ，1)．‎ ‎(1)若a∥b，求tan 2θ的值；‎ ‎(2)f(θ)＝(a＋b)·b，θ∈，求f(θ)的值域. ‎ ‎【导学号：84352349】‎ ‎[解]　(1)∵a∥b，‎ ‎∴cos θ－2sin θ－2sin θ＝0，‎ ‎∴cos θ＝4sin θ，‎ ‎∴tan θ＝，‎ ‎∴tan 2θ＝＝＝.‎ 7‎ ‎(2)a＋b＝(cos θ－sin θ，3)，‎ ‎∴f(θ)＝(a＋b)·b＝sin θcos θ－sin2θ＋3＝sin 2θ－＋3＝sin＋，‎ ‎∵θ∈，‎ ‎∴∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴2≤f(θ)≤，‎ ‎∴f(θ)的值域为.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　)‎ A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a A　[∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，‎ c＝sin 36°，‎ ‎∴b＞a＞c.]‎ ‎2．设α∈，β∈，且＝，则(　　)‎ A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋2β＝ D．α－2β＝ B　[由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，‎ sin α＝cos(α－β)，‎ ‎∴cos＝cos(α－β)．‎ ‎∵－α∈，α－β∈，‎ 7‎ ‎∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，‎ ‎∴2α－β＝.]‎ ‎3．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．＋1 D．＋2‎ B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x ‎＝cos x＝sin x＋cos x ‎＝2sin.‎ ‎∵0≤x<，‎ ‎∴≤x＋<，‎ ‎∴当x＋＝时，‎ f(x)取到最大值2.]‎ ‎4．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.‎ ‎ 【导学号：84352350】‎ ‎±　[由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，‎ 又θ是第二象限角，‎ 得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．‎ 故cos θ＝－＝－，‎ 由cos2 ＝得cos2 ＝.‎ 又是第一、三象限角，‎ 所以cos ＝±.]‎ ‎5．如图324，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.‎ 7‎ 图324‎ ‎(1)若sin α＝，求cos∠POQ；‎ ‎(2)求△OPQ面积的最大值. ‎ ‎【导学号：84352351】‎ ‎[解]　(1)由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，‎ 且α∈，所以cos α＝，‎ 所以cos∠POQ＝cos ‎＝coscos α＋sinsin α＝.‎ ‎(2)由三角函数定义，得P(cos α，sin α)，‎ 从而Q(cos α，cos α)，‎ 所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|‎ ‎＝|cos2α－sin αcos α|‎ ‎＝ ‎＝ ‎≤＝＋.‎ 因为α∈，所以当α＝－时，等号成立，‎ 所以△OPQ面积的最大值为＋.‎ 7‎