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- 2024-03-02 发布
2019-2020学年度第一学期模块考试
高二数学试题（2019.11）
考试时间120分钟 满分150分
第Ⅰ卷（选择题，共52分）
一、单项选择题（本题共1０小题，每小题４分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．若且，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.36 B.72 C.91 D.182
4．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列 中， ，若 ，则
A．5 B．6 C．9 D．10
6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第5节的容积为（ ）升。
A． B． C． D．
7．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是()
A． B．
C． D．
9．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的前项和，若，则( )．
A．420 B．780 C．390 D．80
二、多项选择题（本题共３小题，每小题４分，共１２分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得４分，有选错的得０分，部分选对的得２分．）
11．一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（ ）
A．n=4 B．n=-5 C．n=-1 D．n=-12
12．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
13．已知，则下列函数的最小值为2的有( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共98分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）
14．数列中，，，且数列是等差数列，则_______.
15．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．
16．若正实数，满足，则的最小值是________.
17．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
四、解答题（本大题共6小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．（本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求，并求的最小值．
19．（本小题满分14分）为数列的前项和.已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．（本小题满分14分）设函数
（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
22．（本小题满分15分）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
23．（本小题满分15分）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
2019-2020学年度第一学期模块考试
高二数学参考答案（2019.11）
1．D【详解】选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；
选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；
选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.
2．A【详解】，，.故选：A.
3．C【详解】由得，，即，所以，故选C.
4．B【详解】由等比数列的性质可得：，又，，，．又等比数列的各项均为正数，．故选：．
5．D【详解】由，，
答案选D
6．A【详解】设此等差数列为，公差，由题意可得：，，
则，，联立解得，． ．故选：．
7．C【详解】依题意，当且仅当时，等号成立.故选C.
8．B【详解】因为不等式的解集为空集，所以方程根的判断式，因此，故本题选B.
9．D【详解】由题意可得：命题：，命题：，
命题是的必要不充分条件，故不等式，即在区间上恒成立，据此可知：的取值范围是.故选：D.
10．A【详解】由an+1+（﹣1）nan＝n，∴当n＝2k时，有a2k+1+a2k＝2k，①
当n＝2k﹣1时，有a2k﹣a2k﹣1＝2k﹣1，②当n＝2k+1时，有a2k+2﹣a2k+1＝2k+1，③
①﹣②得：a2k+1+a2k﹣1＝1，①+③得：a2k+2+a2k＝4k+1，∴a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2＝4k+2．
∴S40＝4（1+3+…+19）+2020＝420．故选：A．
11．BCD【详解】设，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
要使得一元二次方程有正数根，则满足，即，
所以一元二次方程有正数根的充分不必要条件可以为B、C、D，故选BCD.
12．AD【详解】时，，数列不一定是等比数列，时，，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．
13．ACD【详解】
因为，所以（当且仅当时取等号）；
因为函数在递增，所以；
因为函数在递增，所以；
因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD.
14．【详解】根据题意，设，数列是等差数列，则，，
则，即；解可得；故答案为：
15．【解析】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到个正方形，则有，∴，∴最小正方形的边长为，故答案为.
16．【详解】由得，所以
.当且仅当，即时等号成立.故填：.
17．③④【解析】对于①，因为“”时成立，时，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要条件，故①错，对于②， 时， ; ，时，，所以“”是“”的的既不充分也不必要条件，故②错，对于③，因为“ ”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，③正确；对于④“是无理数”是“ 是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④．
18．（1），（2），最小值为−16．
【详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2． 所以的通项公式为．（II）由（I）得． 所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．
19．（1）（2）.
【解析】（1）当时，有，即.
因为，所以.从而，即4。
由，知.
两式相减，得.
即，即，
即.因为，所以，即.
所以，数列是首项为，公差为的等差数列.所以.
（2）由（1）知.所以.
20．（1）（2）
试题解析：（1）当时，，当时，
即：，数列为以2为公比的等比数列
（2）
两式相减，得
21．（1）（2）
【详解】（1）由题意，要使不等式恒成立，
①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；
②当时，只需，解得，综上所述，实数的取值范围为.
（2）要使对于恒成立，只需恒成立，只需，又因为，只需，令
，则只需即可因为，当且仅当，即时等式成立；因为，所以，所以.
22．.【详解】由得，解得，
设．由得，解得，设．
∵是的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件，∴Ü，即Ü，
∴，解得. ∴实数的取值范围为．
23．（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大
【详解】（1）由题意可知，当时， （万件），所以，所以，所以，每件产品的销售价格为 （万元），
所以年利润
所以，其中.
（2）因为时，，即
所以，当且仅当，即 （万元）时， （万元）.
所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.