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- 2024-02-29 发布
河北武邑中学2017-2018学年下学期开学考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则( ）
A． B． C． D．
2.设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.我国古代数学算经史书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A．104人 B．108人 C．112人 D．120人
4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5.若，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
8.四面体的各条棱长都相等，为棱的中点，过点作平面平行的平面，该平面与平面、平面的交线分别为、，则，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数与，设，，若存在，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10.已知抛物线：上一点，直线：，：，则到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：（）作切线，切点分别为，，若的最小值为58，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数在上的最大值为5，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，，则 ；满足的实数的取值范围是 ．
14.三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，侧面
为等腰三角形，且腰长为，若，则三棱锥外接球表面积是 ．
15.已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为 ．
16.已知函数，，，若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数，．
（1）求函数的对称中心；
（2）已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，的外接圆半径为，求周长的最大值．
18.设，，若，求的取值范围．
19.如图四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，，，为的中点，为上一点，且（）．
（1）若时，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求异面直线与直线所成角的余弦值．
20.如图，已知椭圆：，其左右焦点为、，过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于、两点，且、、构成等差数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由．
21.已知函数．
（1）若函数在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）设函数（且），若函数的图象与轴交于点，两点，且是函数的极值点，试比较，，的大小．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．
23.选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
河北武邑中学2017-2018学年下学期开学考试数学（理科）试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.； 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：由
．
（1）令（），则（），
所以函数的对称中心为（）．
（2）由，得，整理得，即，
由正弦定理得：，整理得，
又因为，所以，整理得，
由，得，所以，即，
又的外接圆的半径为，所以，
由余弦定理得：，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为9．
18.解：，
由，得，
当，即时，，符合题意；
当，即时，
若，则，符合题意；
当时，由，且，
可知，，
∴满足的实数的取值范围为或．
19.（1）证明：若时，，在上取，
连接，，∵，，，
∴，且，
∵为的中点，，∴，
又∵，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）如图所示，过点作于，则，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，
∴点，，，，，，，，
，
设平面的法向量为，则即令，则，，
∴，
设直线与平面所成的角为，则
，
解得，则，，，
设直线与直线所成角为，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
20.解：（1）因为、、构成等差数列，
所以，所以，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与，轴垂直．
设方程为（），
将其代入，整理得，
设，，所以，
故点的横坐标为，所以，
设，因为，所以，
解得，即．
∵和相似，且，则，，
∴，
整理得，因此，，
所以存在直线，方程为．
21.解：（1），令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，
∴，即，①
∴在单调递减，
∴．
（2），则或，不妨取，，
又，令，则，
∴在上单调递增．
又，
由①式可知（，且），
所以，即，
又，
由①式知，取，则且，得，
∴，∴，
又是的极值点，∴，即，
∴，
又在上单调递增，
∴．
22.解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数，），
∴曲线的普通方程为：（，），
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的直角坐标方程为．
（2）∵曲线的普通方程为：（，）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得，
∴或（舍去），
当过点时，，
∴当与有两个公共点时，．
23.解：（1）
当时，，，∴；
当时，，，∴；
当时，，，∴．
综上所述，不等式的解集为．
（2）易得，若，恒成立，
则只需，即，整理得，
综上所述．