【推荐】专题4-2 三角恒等变换-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 29页

真题再现 ‎1.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。‎ ‎【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。‎ ‎2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对 称.若，=___________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.‎ ‎【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 .‎ ‎3. 【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎ ‎ ‎4. 【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得或，所以，故选A．‎ ‎5. 【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎6.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知， ＝，选C.‎ ‎7.【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【考点解读】‎ 高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等．‎ 题型一 两角和与差的三角函数公式的应用 典例1．（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】原式等于 ,选D.‎ 典例2.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三下学期临考冲刺训练理科数学试题】已知锐角满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】因为锐角，所以 ，因此 ，因为 ，所以 ，选B. ‎ ‎【知识链接】‎ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；‎ C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sinαsinβ；‎ S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；‎ S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；‎ T(α＋β)：tan(α＋β)＝；‎ T(α－β)： tan(α－β)＝.‎ 变形公式：‎ tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；‎ .‎ ‎【方法规律技巧】‎ ‎1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ ‎2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．‎ 提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.【河北省2017届衡水中学押题卷理数 II卷】若， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得： ，‎ 结合两角和差正余弦公式有：‎ .‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．【湖南省2017年普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷（三）理科】若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知,所以和,所以 = ,选C. ‎ 题型2 二倍角公式及半角公式的的运用 典例1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在射线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【方法点拔】‎ ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标则可先求出点P到原点的距离r然后用三角函数的定义求解。‎ ‎(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题。‎ 典例2．【辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学（理）】已知 为第二象限角， ，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C 典例3．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟理科数学卷（二）】已知,则 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题知．故本题答案选．‎ ‎【知识清单】‎ 二倍角的正弦、余弦、正切公式：‎ S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ T2α：tan 2α＝.‎ 变形公式：‎ cos2α＝，sin2α＝ ‎1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2‎ ‎【方法规律技巧】‎ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：‎ ‎ （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．【湖南省株洲市2017届高三一模数学（理）】已知（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ 2．【广东省广州市2017届高三4月综合测试（二）数学理】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 题型3 三角恒等式的证明 典例1.求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.‎ ‎【证明】证法一：(复角→单角，从“角”入手)‎ 左边＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)‎ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)‎ ‎＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ‎＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.‎ 典例2. 已知，，且，.‎ 证明：.‎ ‎【证明】，即，‎ ，‎ ，‎ ，‎ 又，，‎ ，，，‎ .‎ ‎【方法规律技巧】‎ 三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．‎ ‎(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．‎ ‎(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.求证：＝－2cos(α＋β).‎ ‎2.已知，证明：.‎ ‎【证明】左边 ‎ ‎ ‎ ‎ 右边.‎ 故原命题成立.‎ 题型4 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 典例1.【江苏省南京市南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟】设函数 ，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________‎ ‎【答案】 点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ 典例2.已知函数。‎ ‎（Ⅰ）当时，求的最大值。‎ ‎（Ⅱ）设的内角所对的边分别为，且，，求。‎ ‎【解析】‎ ，。‎ 当时，即时，‎ 。‎ ‎（Ⅱ），‎ 。，‎ 。‎ ，得。‎ ，‎ ，‎ 。‎ 由余弦定理得： ，解得。‎ ‎【方法规律技巧】‎ ‎ 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．（1）已知， ，其中， ，求；‎ ‎（2）已知， ，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎（2）∵， ，∴，‎ ‎∵， ，∴，∴，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.‎ 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．‎ ‎2．【广东省揭阳市2017届高三第二次（4月）模拟考试数学理】已知函数， .若在区间内有零点，则的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎【答案】D 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果.‎ ‎【知识交汇】‎ ‎1．【湖南省长沙市一中2017届高三高考模拟试卷（二）数学（理）】若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( )‎ A. B. C. (1,1) D. (-1,1)‎ ‎【答案】D ‎【交汇技巧】‎ 本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简，以及三角函数奇偶性的判断，熟练掌握三角函数的性质是关键；已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：‎ ‎（1）奇偶性的定义；‎ ‎（2）数形结合；‎ ‎（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性。‎ ‎2.【江苏省无锡市崇安区江南中学2017届高三考前模拟练习数学（理）】若动直线 与函数的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为_________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为 ，所以由题设可知，因此当时， ，应填答案。‎ 点睛：解答本题的关键是运用正弦、余弦的二倍角公式将函数的的形式进行化简，再借助三角变换公式将其化为，运用三角函数的有界性求函数的最大值从而使得问题获解。‎ 练习检测 ‎1．【四川省师范大学附属中学2017届高三下学期5月模拟考试数学（理）】已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎ 2．【福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学（理）】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】，故选B. ‎ ‎3．【云南省师范大学附属中学2017届高考适应性月考（八）数学（理）】已知函数在处取得最大值，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】，其中， ．又当时， 取得最大值，所以，即，所以，故选A．‎ ‎4．【陕西省西藏民族学院附属中学2017届高三下学期第四次模拟考试数学（理）】设α∈(0,π‎2‎)‎，β∈(0,π‎2‎)‎，且cosαsinα‎=‎‎1-cosβsinβ，则( )‎ A. α+β=‎π‎2‎ B. α+β‎2‎=‎π‎2‎ C. α-β‎2‎=‎π‎2‎ D. ‎β‎2‎‎-α=‎π‎2‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5．【四川省泸州市2017届高三四诊（临考冲刺模拟）数学（理）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由题意： ，‎ 则： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎6．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试数学（理）】已知，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ ‎ ‎7．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学】的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】 由，故选B.‎ ‎8．已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 平方得 ‎9．已知，且sinA=，那么sin2A等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】因，所以，应选答案D。‎ ‎10．【云南省民族中学2017届高三适应性考试（三）数学（理）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ 11．【吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试数学（理）】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，据此有：‎ ，‎ 或： 。‎ 即的值为或.‎ 本题选择D选项. ‎ ‎12．【广东省揭阳市2017届高三第二次（4月）模拟考试数学理】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ 13．【江苏省无锡市崇安区江南中学2017届高三考前模拟练习数学（理）】当取遍全体实数时，直线 所围成的图形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，也即，也即，故，这表示的以为圆心， 为半径的圆，所以当取遍全体实数时，直线 所围所围成的图形（圆）的面积是，应选答案D。‎ ‎14．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查数学（理）】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为，所以， ，因为，所以，因此，故填．‎ ‎15．【安徽省太和中学2016-2017学年高一下学期第三次月考】已知，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ 16．【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟考试数学（理）】已知 ，则 __________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎ ‎17.【重庆市第八中学2017届高三高考适应性月考（七）数学（理）】已知函数的图象与函数的图象在上有两个交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎【答案】C ‎ 18．【辽宁省鞍山市第一中学2017届高三下学期最后一次模拟考试数学（理）】已知锐角满足，则=_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意可得： ，‎ 由二倍角公式： ‎19．已知，则______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎ ‎，因为 ，所以 ．‎ ‎20．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝______；‎ ‎【答案】 ‎【解析】由二倍角公式有 ，所以有 ，化简得 ，由于 ，所以 ．‎ ‎21．【广东省惠州市2017届高三4月模拟考试数学理试题】已知，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ 22．（Ⅰ）已知，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分式分子分母同时除以，得到正切值，再把分子分母同时除以，代入正切值即可.‎ ‎（Ⅱ）直接利用同角三角函数的基本关系化简求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵，∴．‎ ‎∴；‎ ‎（II）==1．‎ ‎23．【河北省保定市2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理）】已知 .‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎ （2）在中， 分别是内角的对边，若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎ ‎