2018-2019学年江苏省海安高级中学高二下学期期中考试数学试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年江苏省海安高级中学高二下学期期中考试数学试题 一、填空题 ‎1．设全集，集合，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎2．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.‎ ‎【考点】复数的运算.‎ ‎3．设幂函数的图像经过点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___________． ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】去掉最高分，去掉最低分，计算剩余5个数的平均数，根据方差计算公式可得.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图，去掉最高分93，去掉最低分79，其余5个数的平均数 ‎，‎ 所以方差，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差运算，考查数据的处理，属于基础题.‎ ‎5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为______________．‎ ‎【答案】0.7.‎ ‎【解析】乙不输分两种情况：乙赢或两人和棋.由条件确定乙赢的概率，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，所以乙赢的概率为1-0.3-0.5=0.2，所以乙不输的概率为0.2+0.5=0.7.故答案为0.7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个对立事件的概率性质，属于基础题.‎ ‎6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是_______________ .‎ ‎ ‎ ‎【答案】10.‎ ‎【解析】运行程序，当时退出循环，输出S=1+1+3+5，计算和值可得.‎ ‎【详解】‎ 执行程序，第一次循环，, ;第二次循环，; 第三次循环，，结束循环，输出S=10.故答案为10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查循环语句，关键读懂题意，明确求解的问题，考查阅读理解能力与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为_____________．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组，求出c可得.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，所以 ‎,解得，所以双曲线的焦距为4.故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8．若函数的部分图象如图所示，则的值为_______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由所给函数图像 过点,，列式，利用诱导公式可得.‎ ‎【详解】‎ 由函数图像过点,,得，，所以，又两点在同一周期，所以，.故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．设实数x，y满足条件则的最大值为___________．‎ ‎【答案】14.‎ ‎【解析】利用图解法，作约束条件对应的可行域，移动目标函数对应的直线，判断直线过区域上的哪个点时z取最大值、最小值，求出最优解，得z的取值范围，可确定的最大值.‎ ‎【详解】‎ 作出约束条件对应的可行域，如图，‎ 设，移动直线：，当直线分别过、时取最小值、最大值，所以，所以.故答案为14.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题，掌握数形结合的方法，确定可行域与目标函数的几何意义是解题关键，属于基础题.‎ ‎10．三棱锥中，是的中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为_______________．‎ ‎【答案】10.‎ ‎【解析】以B为顶点，三棱锥与四棱锥等高，计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设B到平面ACD的距离为h，三角形ACD面积为，因为是的中点，在上，且，所以,，所以，又=2，所以，，所以 ‎.‎ 故答案为10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.‎ ‎11．已知四边形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的取值范围是______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设，利用向量的坐标形式，将表示为的函数，求函数的值域可得.‎ ‎【详解】‎ 以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，由AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则,，又P为线段AC上任意一点，设,‎ 所以 ‎，由，所以.故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，利用向量的坐标形式将向量运算转化为实数运算是处理向量问题的常用方法，引入变量，建立函数是解本题的关键，属于中档题.‎ ‎12．若，则______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由化为,再利用两角和与差的余弦公式，再同时除以即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ ‎，所以.故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的条件求值，主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求式；条件与所求都要变形，找到联系.恰当利用角的变换有时可简化运算.考查运算能力，属于中档题.‎ ‎13．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.‎ ‎【答案】7.‎ ‎【解析】设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.‎ ‎【详解】‎ 设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以 经过1个小时细胞有，‎ 经过2个小时细胞有=，‎ ‎······‎ 经过8个小时细胞有，又，‎ 所以，，.‎ 故答案为7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.‎ 二、解答题 ‎14．已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)∙(cos x－sin x)．‎ ‎（1）求函数f (x)的周期；‎ ‎（2）若f (x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．‎ ‎【答案】(1) T=(2) .‎ ‎【解析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式把化为的类型，利用正弦函数的性质可得周期.‎ ‎（2）由条件，计算，利用及两角和与差的余弦公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎，‎ 周期．‎ ‎(2) ，‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质、三角函数求值，运用三角变换公式将化为正弦型函数是关键，利用角的变换可简化运算，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为A1 B1， B1C1的中点，点F在侧棱BB1上，且，.‎ ‎ ‎ 求证：（1）直线DE∥平面ACF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ACF.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）利用条件判断DE与平面ACF内的一条直线AC平行，利用直线与平面平行的判定定理可证.‎ ‎（2）利用条件判断直线SD与平面ACF垂直.由,只需直线BD与平面ACF内另一条直线垂直，利用平面与平面垂直的判定定理可证.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，‎ 在三角形A1B1C1中，D，E分别为A1 B1， B1C1的中点，‎ 所以DE∥A1C1，于是DE∥AC，又因为DE平面ACF，AC平面ACF，‎ 所以直线DE∥平面ACF；‎ ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 因为直线，所以平面BDE⊥平面ACF.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、面面垂直的判定与性质，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题.‎ ‎16．已知正项数列{an}首项为2，其前n项和为Sn，满足2Sn－Sn-1＝4 (n∈N，n≥2)．‎ ‎（1）求,的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设 (n∈N)，数列{bn·bn＋2}的前n项和为Tn，求证：Tn<.‎ ‎【答案】(1) ,;(2) .(3)见解析.‎ ‎【解析】（1）由递推条件取n=2,3可得.（2）由递推条件迭代，两式相减得到数列相邻两项的关系，判断为等比数列，可得通项公式.（3）利用裂项消去法对求和化简，可证不等式成立.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),;‎ ‎(2) 由2Sn－Sn-1＝4，‎ 得2Sn-1－Sn-2＝4(n∈N，n≥3)，‎ 解得(n∈N，n≥3)，‎ 又，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．‎ 故.‎ ‎(3)证明：因为,‎ 所以.‎ 故数列的前n项和 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项与前n项和的求法，要求掌握通项与前n项和的关系，将进行裂项变形是求和的关键，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎17．如图，A，B两点相距2千米，．甲从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻乙出发，经过小时与甲相遇．‎ ‎（1）若v = 12千米/小时，乙从B处出发匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与甲相遇，试求乙速度的最小值；‎ ‎（2）若乙先从A处沿射线AB方向以千米/小时匀速行进 (＜＜)小时后，再以8千米/小时的速度追赶甲，试求甲在能与乙相遇的条件下v的最大值．‎ ‎【答案】(1)6.（2）。‎ ‎【解析】（1）设乙速度为x千米/小时（），利用余弦定理建立x关于t的函数关系，求函数的最小值可得.‎ ‎（2）利用余弦定理,整理,题即关于的一元二次方程在有解，利用一元二次方程根的分布条件可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设乙速度为x千米/小时，‎ 由题意可知，‎ 整理得.‎ 由于，所以 所以，当即t＝时，x2取得最小值36，‎ 即x最小值为6. ‎ 答：乙速度的最小值为6千米/小时.‎ ‎（2）由题意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m ×vt cos30°，‎ 两边同除以t2得：‎ 设,‎ 则有192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)，‎ 即关于k的方程在(0，1)上有解，‎ 则必有，解得,‎ 当时，可得，因此v为最大值为.‎ 答：甲的最大速度为千米/小时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用，一元二次方程根的分布条件，考查等价转化能力、推理能力及计算能力，属于中档题.‎ ‎18．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，‎ ‎（1）若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方程；‎ ‎（2）设圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆N的标准方程； ‎ ‎（3）在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】（1）由条件设圆M方程（），条件②说明M点及圆M与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，再由条件①，列出a,r的方程组可得.‎ ‎（2）设圆N：，由圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，列方程组求解.‎ ‎（3）设圆C：，由条件①②得到a,b关系，再利用基本不等式求C到的距离的平方何时取最小值，得所求圆方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心为，半径为r．‎ 则P到到x轴，y轴距离分别为∣b∣和∣a∣．‎ 由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截x轴所得弦长为．‎ 所以，又圆截y轴所得弦长为2．所以，‎ 故 又因为圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，则，‎ 则所求圆的标准方程为；‎ ‎（2）设圆N：，由圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，所以，得，或所以圆方程为或；‎ ‎（3）由（1）知：，又因为P圆心到直线l：x－2y=0的距离为：所以，‎ 当且仅当a=b时取“=”号，此时．此时或，.‎ 故所求圆的标准方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，利用不等式求最值，考查方程的思想、运算能力，属于中档题.‎ ‎19．已知函数，为自然对数的底数.‎ ‎ （1）求函数的定义域和单调区间；‎ ‎ （2）试比较与的大小，其中；‎ ‎ （3）设函数，，求证：函数存在唯一的极值点，且.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为单调递减区间为；（2）见解析.(3)见解析.‎ ‎【解析】（1）由分母不为0确定函数定义域.对求导，判断的正负，确定函数的单调区间；‎ ‎（2）要比较与的大小，只要比较与的大小，只要比较与的大小，只要比较与的大小.利用函数的单调性可得.‎ ‎（3）对求导，判断有唯一解t且在此解的两侧的符号不同及t的范围；再利用导数求的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为， ，令，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以函数的单调递增区间为单调递减区间为；‎ ‎（2）因为，，要比较与的大小，‎ 即比较与大小，‎ 由（1）知，‎ 当，即时，=；‎ 当，即且时，；‎ ‎（3）,‎ ‎，令，‎ 当x≥e时，x>0，‎ 当0