2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第1部分 专题3 突破点9 随机变量及其分布 10页

专题限时集训(九)　随机变量及其分布 [建议 A、B 组各用时：45 分钟] [A 组　高考达标] 一、选择题 1．已知变量 X 服从正态分布 N(2,4)，下列概率与 P(X≤0)相等的是(　　) A．P(X≥2) B．P(X≥4) C．P(0≤X≤4) D．1－P(X≥4) B　[由变量 X 服从正态分布 N(2,4)可知，x＝2 为其密度曲线的对称轴，因 此 P(X≤0)＝P(X≥4)．故选 B.] 2．(2016·厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对 于没有发芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期 望为(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 B　[将“没有发芽的种子数”记为 ξ，则 ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知 ξ～B(1 000,0.1)，所以 E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为 X＝2ξ，所以 E(X)＝2E(ξ) ＝200，故选 B.] 3．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3 4 ；向乙靶射 击两次，每次命中的概率为2 3.该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成 以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为(　　) A. 5 36 B.29 36 C. 7 36 D.1 3 C　[3 4 ×(1－2 3)×(1－2 3)＋1 4 ×2 3 ×(1－2 3)＋1 4 ×(1－2 3)×2 3 ＝ 7 36 ，故选 C.] 4．(2016·合肥二模)某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定 演讲顺序，在“学生 A 和 B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下， 学生 C 第一个出场的概率为(　　) 【导学号：67722035】 A.1 3 B.1 5 C.1 9 D. 3 20 A　[“A 和 B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另 外 3 人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是 1 3.] 5．箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球．从箱中一次摸出两个 球，记下号码并放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖．现在 4 人参与摸 奖，恰好有 3 人获奖的概率是(　　) A. 16 625 B. 96 625 C.624 625 D. 4 625 B　[若摸出的两球中含有 4，必获奖，有 5 种情形；若摸出的两球是 2,6， 也能获奖．故获奖的情形共 6 种，获奖的概率为 6 C26 ＝2 5.现有 4 人参与摸奖，恰有 3 人获奖的概率是 C34(2 5 )3·3 5 ＝ 96 625.] 二、填空题 6．随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ＝0)＝1 5 ，E(ξ)＝1，则 D(ξ)＝________. 2 5 　[由题意设 P(ξ＝1)＝p， ξ 的分布列如下： ξ 0 1 2 P 1 5 p 4 5 －p 由 E(ξ)＝1，可得 p＝3 5 ， 所以 D(ξ)＝12×1 5 ＋02×3 5 ＋12×1 5 ＝2 5.] 7．某学校一年级共有学生 100 名，其中男生 60 人，女生 40 人．来自北京 的有 20 人，其中男生 12 人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是 ________． 1 5 　[设事件 A 为“任选一人是女生”，B 为“任选一人来自北京”，依题意知， 来自北京的女生有 8 人，这是一个条件概率，问题即计算 P(B|A)． 由于 P(A)＝ 40 100 ，P(AB)＝ 8 100 ， 则 P(B|A)＝P(AB) P(A) ＝ 8 100 40 100 ＝1 5.] 8．(2016·黄冈一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳 去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向 跳的概率的两倍，如图 9­6 所示，假设现在青蛙在 A 叶上，则跳三次后仍停在 A 叶上的概率是________． 图 9­6 1 3 　[设顺时针跳的概率为 p，则逆时针跳的概率为 2p，则 p＋2p＝1，即 p＝ 1 3 ，由题意可知，青蛙三次跳跃 的方向应相同，即要么全为顺时针方向，要么全 为逆时针方向，故所求概率 P＝(2 3 )3＋(1 3 )3＝ 8 27 ＋ 1 27 ＝1 3.] 三、解答题 9．(2016·烟台二模)甲、乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得 1 分，负者 得 0 分．在其中的一方比对方多得 2 分或下满 5 局时停止比赛．设甲在每局中获 胜的概率为2 3 ，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立． (1)求没下满 5 局甲即获胜的概率； (2)设比赛停止时已下局数为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ)． [解]　(1)没下满 5 局甲获胜有两种情况： ①是两局后甲获胜，此时 P1＝2 3 ×2 3 ＝4 9 ，2 分 ②是四局后甲获胜，此时 P2＝(C122 3 × 1 3)×2 3 ×2 3 ＝16 81 ，4 分 所以甲获胜的概率 P＝P1＋P2＝4 9 ＋16 81 ＝52 81.5 分 (2)依题意知，ξ 的所有可能值为 2,4,5.6 分 设前 4 局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为： (2 3 )2＋(1 3 )2＝5 9.7 分 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮 比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有： P(ξ＝2)＝5 9 ，P(ξ＝4)＝(4 9 )(5 9 )＝20 81 ，P(ξ＝5)＝(4 9 )2＝16 81.10 分 所以 ξ 的分布列为： ξ 2 4 5 P 5 9 20 81 16 81 故 E(ξ)＝2×5 9 ＋4×20 81 ＋5×16 81 ＝250 81 .12 分 10．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲、乙两支代表队， 首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错或不答都得 0 分．已知甲 队 3 人每人答对的概率分别为3 4 ，2 3 ，1 2 ，乙队每人答对的概率都是2 3.设每人回答正 确与否相互之间没有影响，用 ξ 表示甲队总得分． (1)求随机变量 ξ 的分布列及其数学期望 E(ξ)； (2)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率． [解]　(1)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ＝0)＝1 4 ×1 3 ×1 2 ＝ 1 24 ；1 分 P(ξ＝1)＝3 4 ×1 3 ×1 2 ＋1 4 ×2 3 ×1 2 ＋1 4 ×1 3 ×1 2 ＝1 4 ；2 分 P(ξ＝2)＝3 4 ×2 3 ×1 2 ＋1 4 ×2 3 ×1 2 ＋3 4 ×1 3 ×1 2 ＝11 24 ；3 分 P(ξ＝3)＝3 4 ×2 3 ×1 2 ＝1 4.4 分 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4 6 分 所以 E(ξ)＝0× 1 24 ＋1×1 4 ＋2×11 24 ＋3×1 4 ＝23 12.8 分 (2)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A，“甲队比乙队得分高”为事件 B， 则 P(A)＝ 1 4 ×C33(2 3 )3＋11 24 ×C23(2 3 )2×1 3 ＋1 4 ×C13(2 3 )1×(1 3 )2＝1 3.10 分 P(AB)＝1 4 ×C13(2 3 )1×(1 3 )2＝ 1 18.11 分 P(B|A)＝P(AB) P(A) ＝ 1 18 1 3 ＝1 6.12 分 [B 组　名校冲刺] 一、选择题 1．(2016·河北第二次联考)已知袋子中装有大小相同的 6 个小球，其中有 2 个红球、4 个白球．现从中随机摸出 3 个小球，则至少有 2 个白球的概率为(　　) A.3 4 B.3 5 C.4 5 D. 7 10 C　[所求问题有两种情况：1 红 2 白或 3 白，则所求概率 P＝C12C24＋C34 C36 ＝4 5.] 2．如图 9­7，△ABC 和△DEF 是同一个圆的内接正三角形，且 BC∥EF.将 一颗豆子随机地扔到该圆内，用 M 表示事件“豆子落在△ABC 内”，N 表示事件 “豆子落在△DEF 内”，则 P(N － |M)＝(　　) 图 9­7 A. 3 4π B. 3 2π C.1 3 D.2 3 C　[如图，作三条辅助线，根据已知条件知这些小三角形 都全等，△ABC 包含 9 个小三角形，满足事件 N － M 的有 3 个 小三角形，所以 P( N － |M)＝ n( N － M) n(M) ＝3 9 ＝1 3 ，故选 C.] 3．设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(X>c＋1)＝P(X7 4 ，则 p 的取值范围是________. 【导学号：67722036】 (0，1 2)　[由已知得 P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则 E(η) ＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>7 4 ，解得 p>5 2 或 p<1 2 ，又 p∈(0,1)，所以 p∈ (0，1 2).] 三、解答题 7．(2016·郑州模拟)已知从 A 地到 B 地共有两条路径 L 1 和 L2，据统计，经 过两条路径所用的时间互不影响，且经过 L1 与 L2 所用时间落在各时间段内的频 率分布直方图分别如图 9­8(1)和图(2)． (1)　　　　　　　　(2) 图 9­8 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于从 A 地到 B 地． (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到 B 地，甲和乙应如何选择各自 的路径？ (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到 B 地的人数，针对(1)的选 择方案，求 X 的分布列和数学期望． [解]　(1)用 Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时，40 分钟内赶到 B 地”，B i 表示 事件“乙选择路径 Li 时，50 分钟内赶到 B 地”，i＝1,2.1 分 由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得 P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5. ∵P(A1)>P(A2)，故甲应选择 L1.3 分 P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8， P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9. ∵P(B2)>P(B1)，故乙应选择 L2.5 分 (2)用 M，N 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到 B 地， 由(1)知 P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，又由题意知，M，N 相互独立，7 分 ∴P(X＝0)＝P(M － N － )＝P(M － )P( N － )＝0.4×0.1＝0.04； P(X＝1)＝P(M － N＋M N － )＝P(M － )P(N)＋P(M)P( N － ) ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42； P(X＝2)＝P(MN)＝P(M)P(N)＝0.6×0.9＝0.54.9 分 ∴X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.12 分 8．气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下： 日最高气温 t/℃ t≤22 2232 天数 6 12 Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和 Z 数据不清楚，但气象部门提供的 资料显示，六月份的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9.某水果商根据多年的销 售经验，六月份的日最高气温 t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表： 日最高气温 t/℃ t≤22 2232 日销售额 X/千元 2 5 6 8 (1)求 Y，Z 的值； (2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额 X 的期望和方差； (3)在日最高气温不高于 32℃时，求日销售额不低于 5 千元的概率． [解]　(1)由已知得 P(t≤32)＝0.9，所以 P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，所以 Z＝ 30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.3 分 (2)由题意，知 X 的所有可能取值为 2,5,6,8. 易知 P(X＝2)＝P(t≤22)＝ 6 30 ＝0.2，P(X＝5)＝P(2232)＝ 3 30 ＝0.1. 所以六月份西瓜日销售额 X 的分布列为 X 2 5 6 8 P 0.2 0.4 0.3 0.1 6 分 所以 E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，7 分 D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.8 分 (3)因为 P(t≤32)＝0.9，P(22