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- 2024-02-23 发布
铜仁一中 2017-2018 学年第二学期开学考试
高二理科数学
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．设命题 ： ， ，则 为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2．“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．右面的程序框图的运行结果是( )
A. B. C. － D. －1
4.连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，向量 a＝(m，n)与
向量 b＝(1,0)的夹角记为θ，则θ∈(0， )的概率为( )
A． B． C． D．
5 .当输入 时，右面的程序运行的结果是 ( )
A. B. C. D.
2 4 5 6 8
30 40 50 70
6 已知某种商品的广告费支出 (单位:万元)与销售额 (单位:万元)之间有如表
对应数据:
根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 与 的线
性回归方程为 ,则表中的 值为( )
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
7.如果数据 的平均数是 ，方差是 ，则 的
平均数和方差分别是（ ）
A．4 与 3 B．7 和 3 C．7 和 12 D．4 和 12
8. 已 知 为 坐 标 原 点 ， 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 为 上 一 点 , 若
，则 的面积为( )
A. B. C. D.
9.在长方体 中， ， ，则面 与面
所成角的为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知椭圆 + =1 的焦点分别是 、 ， 是椭圆上一点，若连结 、 、 三
点恰好能构成直角三角形，则点 到 轴的距离是( )
A． B． C． D．
11．设 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 的直线交双曲
线右支于 两点．若 ，且 ，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
12．已知 ， ， 其中 是常数，且 的最小值是
，满足条件的点 是双曲线 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 如右图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆
数为 100 颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积为_________.
14. 一条渐近线方程是 的双曲线，它的一个焦点与方程是 的抛物线的
焦点相同，此双曲线的标准方程是___________ ；
15.已知棱长为 2 的正方体 ， 是过顶点 圆上的一点， 为
中点，则 与面 所成角余弦值的取值范围是 .
16.如图所示，在正方体 中，点 是棱 上的一个动点，
平面 交棱 于点 ．给出下列命题：
①存在点 ，使得 //平面 ；
②对于任意的点 ，平面 平面 ；
③存在点 ，使得 平面 ；
④对于任意的点 ，四棱锥 的体积均不变.
其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）.
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
已知命题 ：存在 ，使 ；命题 ：方程
表示双曲线．若命题“( )∧ ”为真命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题满分 12 分)
已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线上的点到
右焦点的距离与到直线 的距离之比为 .
(1) 求双曲线 的方程；
（2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且线
段 的中点在圆 上，求 的值.
19. (本小题满分 12 分)
已知在正方体 中 ， 分别是 的中点， 在棱 上，
且 ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
20.（本小题 12 分）
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的
生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据:
(1)请根据上表提供的数据， 关于 的线性回归方程 ；
(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品生产能耗为 95 吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，
预 测 生 产 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ？ （ 参 考 公 式 ：
）
21.（本题满分 12 分）
已知椭圆 上的焦点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆方程；
（2）设过椭圆顶点 ，斜率为 的直线交椭圆于另一点 ，交 轴于点 ，且
， ， 成等比数列，求 的值．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (
为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴
正半轴为极轴)中，圆 的方程为 .
(1)求圆 C 的直角坐标方程；
(2)设圆 与直线 交于点 .已知点 ，求 的值.
铜仁一中 2017-2018 学年第二学期开学考试
理科数学 （参考答案）
一、 选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C B B D C C C A B D
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.___16______.14. ____ _____；
15. .16.②④．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解： 若 p 为真，则Δ＝(a＋1)2－4(a＋4)>0，
解得：a<－3 或 a>5，
∴¬p 为：－3≤a≤5；
若 q 为真，则(a－3)(a－6)>0，解得：a<3 或 a>6.
因为(¬p)∧q 为真，所以¬p 与 q 都为真，
可得
－3≤a≤5，
a<3 或 a>6，
故实数 a 的取值范围是：－3≤a<3.……………… 12 分
18.(本小题满分 12 分)
解：（1）由题意，得 ，解得 ，………………3 分
∴ ，∴所求双曲线 C 的方程为 . ………………5 分
（2）设 A、B 两点的坐标分别为 ，线段 AB 的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,………………8 分
∴ ， , ………………10 分
∵点 在圆 上，
∴ ，∴ . ……………… 12 分
19．(本小题满分 12 分)
（1）如图建立空间直角坐标系 ，设正方体棱长为 4，则
（ 1 ）
，
∴
∴ ，∴ ……………5 分
（2）平面 的一个法向量为 ……………… 6 分
设平面 的一个法向量为
∴ 即 ∴
令 ，则 ，∴可取
∴ ………………10 分
如图可知，二面角为钝角。∴二面角 的余弦值为 …………12 分
20.（本小题 12 分）
解：（1）由系数公式可知 ， ，
，所以线性回归方程
（2） 时， ，
所以预测产生 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 24.65 吨标准煤.……… 12 分
21.（本题满分 12 分）
解 ： （ 1 ） 由 已 知 ， ， 解 得
，
所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为
． ………………5 分
由（1）题过 B 点的直线为 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，依题意 ，
因 为 ， ， 成 等 比 数 列 ， 所 以 ， 所 以
，
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ，所以 ，解
得 ．
所以，当 ， ， 成等比数列时， ．……………… 12 分
22. （本小题满分 10 分）
解：(1)由ρ＝2sin θ，得 x2＋y2－2y＝0，
即 x2＋(y－)2＝5.
(2)法一：将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，
得(3－
2
2t)2＋(
2
2t)2＝5，
即 t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，
所以
2，
t1·t2＝4.
又直线 l 过点 P(3，)，
故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.……………… 10 分
(2)法二：因为圆 C 的圆心为(0，)，半径 r＝，
直线 l 的普通方程为：y＝－x＋3＋.
由()
52＝5，
. 得 x2－3x＋2＝0.
解得：
x＝1，
. 或
x＝2，
.
不妨设 A(1,2＋)，B(2,1＋)，
又点 P 的坐标为(3，)，
故|PA|＋|PB|＝＋＝3.……………… 10 分