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- 2024-02-23 发布
2019-2020 学年内蒙古赤峰市高一上学期联合考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先求出集合 ，再根据交集的定义，即可得解.
【详解】
解：因为 ，
.
故选：D
【点睛】
本题考查交集的运算，属于基础题.
2．若 ，且 ( ，且 )，则 可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要 时， ，得函数 ( ，且 )为增函数，进而可得
结果.
【详解】
因为 ，且 ，
所以函数 ( ，且 )为增函数，
故 ，
所以 可能的取值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查幂函数的单调性，是基础题.
{ }1,2,3,4,5A = { }| 3B x x= − < − A B =
{ }5 { }1,2 { }3,4,5 { }4,5
B
{ }| 3B x x= − < − { }| 3B x x∴ = > { }1,2,3,4,5A =
{ }4,5A B∴ =
m n< m na a< 0a > 1a ≠ a
3
2
1
2
1
3
1
4
m n< m na a< xy a= 0a > 1a ≠
m n< m na a<
xy a= 0a > 1a ≠
1a >
a 3
2
3．已知函数 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】根据分段函数的解析式代入求函数值即可.
【详解】
，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式，求函数值，属于容易题.
4．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数定义域的求法，求得函数 的定义域.
【详解】
由于 的定义域为 ，所以 ，所以函
数 的定义域为 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
5．已知某停车场规定:停车时间在 3 小时内，车主需交费 5 元，若停车超过 3 小时，每
多停 1 小时，车主要多交 3 元，不足 1 小时按 1 小时计算.一辆汽车在该停车场停了 7
小时 20 分钟，在离开时车主应交的停车费为（ ）
A．16 元 B．18 元 C．20 元 D．22 元
【答案】C
【解析】根据题意按照 8 小时计算停车费即可.
2
1, 0
( ) 1 , 0
x x
f x
x xx
− + ≥
= + <
( )( )3f f ＝
1
4
25
4
100
9
(3) 4 2f = − = −
25 25( (3)) ( 2) 2 4f f f ∴ = − = − =
( )f x [0,2] 2
( 1)
1
f xy x
+= −
[ 1,1]− ( 1,1)− [0,1) (1,2]∪ [0,2]
2
( 1)
1
f xy x
+= −
( )f x [ ]0,2 2
0 1 2 1 1 1 11 0 1
x x xx x
≤ + ≤ − ≤ ≤ ⇒ ⇒ − < < − ≠ ≠ ±
2
( 1)
1
f xy x
+= − ( 1,1)−
【详解】
由已知得 7 小时 20 分钟按 8 小时计算，
所以停车费为 元.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段收费问题，是基础题.
6．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】逐一判断选项中函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】
，
，
所以 为奇函数，
又 为减函数， 为增函数
为减函数，
故 既是奇函数又是减函数.
另外 A. 不是减函数；B. 不是奇函数；C. 不
是奇函数.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性，是基础题.
7．函数 的零点 所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间.
5 (8 3) 3 20+ − × =
( ) 3f x x= ( ) 2 3x xf x −= −
2( )f x x= − + ( ) 0.2 5x xf x = −
1( ) 0.2 5 5 5 55
x
x x x x xf x − = − = − = −
( ) 5 ( )5x xf x f x−−∴ − = = −
( ) 0.2 5x xf x = −
5−= xy 5xy =
( ) 0.2 5x xf x∴ = −
( ) 0.2 5x xf x = −
( ) 3f x x= ( ) 2 3x xf x −= − 2( )f x x= − +
( ) 6 72xf x = − 0x
(2,3) (1,2) (4,5) (3,4)
【详解】
因为 在 上单调递增， ， ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值
的正负.
8．函数 f(x)=x2+ 的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用奇偶性排除选项C、D；利用 时， ,排除 A,从而可得
结论.
【详解】
∵f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,排除 C,D；
又 时， ,排除 A,
故选：B.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高
考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可
循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特
( ) 6 72xf x = − R (2) 0f < (3) 0f >
0 (2, 3)x ∈
2
ln| |
2
x
x
x → +∞ ( )f x → +∞
− −
2
ln| |
2( )
x
x
−
− 2
ln| |
2
x
x
x → +∞ ( )f x → +∞
殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将
不合题意的选项一一排除.
9．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数、幂函数单调性，判断出 三者的大小关系.
【详解】
由于 在 上递减，所以 ；由于 在 上递增，所以
，所以 ，即 .
故选：C
【点睛】
本小题主要考查指数式比较大小，考查指数函数、幂函数单调性，属于基础题.
10．若函数 满足 ，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 ，利用配凑法求出函数 解析式，求值域即可.
【详解】
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
函数值域为 ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求函数解析式，函数的值域，属于容易题.
0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞
1 1 1
5 3 51 1 1, ,4 4 3a b c = = =
, ,a b c
a b c< < a c b< < b a c< < b c a< <
, ,a b c
1
4
x
y = R
1 1
5 31 1
4 4
>
1
5y x= R
1 1
5 51 1
3 4
>
1 1 1
5 5 31 1 1
3 4 4
> >
b a c< <
( )f x 3( 2) 2
xf x x
++ = +
( )f x [1 )∞，＋
[2 )∞，＋ (1 2]， ( 2]∞－ ， 4(0, 3
3( 2) 2
xf x x
++ = +
( )f x
2 1( 2) 2
xf x x
+ ++ = +
1 1( ) 1xf x x x
+= = +
1x
1 ( ) 2f x< ≤
(1 2]，
11．已知函数 在 上的最大值为 ，则 m 的取值范围
是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数图象，结合图象可以观察所得.
【详解】
的图象如下图：
对称轴为 ，
令 ，得 .
因为 ，
所以数形结合可得 或 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.
12．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到 ，且 ，解不等式得
解.
2( ) 2 3f x x x= − − [ ]1 m－ ， ( )f m
( 11]－ ， ( 1,1 2 2]− + [1 2 2, )+ +∞
( 1,1] [1 2 2, )− ∪ + +∞
( )f x
1, (1) 4x f= =
2 2 3 4x x− − = 1 2 2x = ±
( 1) 0f − =
1 1m− < 1 2 2m +
2 2
1 1( ) log 1 3| |f x x x
= + + +
(lg ) 3f x >
1 ,1010
1, (10, )10
−∞ ∪ +∞ (1,10)
1 ,1 (1,10)10
∪
1 lg 1x− < < lg 0x ≠
【详解】
由题得函数的定义域为 .
因为 ，
所以 为 上的偶函数，
因为函数 都是在 上单调递减.
所以函数 在 上单调递减.
因为 ，
所以 ，且 ，
解得 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题
13．已知函数 ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解.
【详解】
函数
所以当 时, ,即 无解;
当 , ,即 ,解得
综上可知,
故答案为:
【点睛】
( ,0) (0, )−∞ +∞
( ) ( )f x f x− =
( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞
2
1 11 3| |y yx x
= + = +， (0, )+∞
( )f x (0, )+∞
(1) 3, (lg ) 3 (1)f f x f= > =
1 lg 1x− < < lg 0x ≠
1 ,1 (1,10)10x ∈ ∪
2
6, 0,( ) log ( ), 0,
x xf x x x
+= − <
( ) 5f a = a =
32−
2
6, 0,( ) log ( ), 0,
x xf x x x
+= − <
0a ≥ ( ) 6 6f a a= + ≥ ( ) 5f a =
0a < 2( ) log ( ) 5f a a= − = 32a− = 32a = −
32a = −
32−
本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题.
14．用“ ”“ ”“ ”“ ”填空:0______ ， ______
.
【答案】
【解析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系进行回答即可.
【详解】
易知 ， ，则第二空要填“ ”.
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系，注意确定集合中元素的意义，是基础题.
15．已知奇函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】首先根据函数奇偶性，判断出 在定义域内递减，由此化简不等式
，求得不等式的解集.
【详解】
由于 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，所以 ，且
在 上递减.所以由 得 ，
， ， ，解得 ，
所以不等式的解集为： .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
16．若函数 ( ，且 )有最大值，且最大值不小
∈ ∉ ⊆ ⊇ N { |1 3}x x
{ | 1 ln(3 )}x y x x= − + −
∈ ⊇
0 N∈ { | 1 ln(3 )} { |1 3}x y x x x x= − + − = <
⊇
∈ ⊇
( )f x ( 1,1)− ( 1,0]−
( 1) (2 1) (0)f x f x f− + − <
2 ,13
( )f x
( 1) (2 1) (0)f x f x f− + − <
( )f x ( )1,1− ( 1,0]− ( )0 0f =
( )f x ( )1,1− ( 1) (2 1) (0)f x f x f− + − < ( 1) (2 1) 0f x f x− + − <
( 1) (2 1)f x f x− < − − ( 1) (1 2 )f x f x− < −
1 1 1
1 1 2 1
1 1 2
x
x
x x
− < − <
− < − <
− > −
2 ,13x ∈
2 ,13
2 ,13
( )2 2( ) log 2 4af x x ax a= − + + 0a > 1a ≠
于 ，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】根据题意首先可得到 ，再求出内层函数的最小值，代入外层函数求最
大值，可得 ，解不等式即可.
【详解】
因为 的函数值可取到无穷大，
所以要函数 ( ，且 )有最大值，
则必有 ，
又 的最小值为 4，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查复合函数的值域问题，注意由内而外确定函数最值，是基础题.
三、解答题
17．设集合 ， ， .
（1）求 ， ；
（2）若 ，求 ；
（3）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， （2）
（3）
【解析】（1）先可求出 ，再利用交集，并集的运算求解即可；
（2）由（1）得 ，然后代入 ，即可求得 ；
1− a
10, 4
0 1a< <
log 4 1a
−
2 2 2( ) 2 4 ( ) 4g x x ax a x a= − + + = − +
( )2 2( ) log 2 4af x x ax a= − + + 0a > 1a ≠
0 1a< <
2 2 2( ) 2 4 ( ) 4g x x ax a x a= − + + = − +
max
1( ) log 4 1 4af x a
= − ⇒
0a >
10 4a<
10, 4
{ | 2 4}A x x= − < < { }| 2 8xB x= < { | 8}C x a x a= < < +
A B A B
2a = ( )RB C∩
A C⊆ a
{ | 2 3}A B x x∩ = − < < { | 4}A B x x∪ = <
R( ) { |3 10}C x xB ∩ = < 4 2a− −
{ | 3}B x x= <
R { | 3}B x x= 2a = ( )RB C∩
（3）由 可得到 ，解不等式组求出 的范围即可.
【详解】
（1）由已知得 ，
所以 ， ；
（2）由（1）得 ，
当 时， ，
所以 .；
（3）因为 ，
所以 ，
解得 .
【点睛】
本题考查集合的交并补的运算，考查集合的包含关系的含义，是基础题.
18．（1）求值 ；
（2）求值 .
【答案】（1）7（2）
【解析】直接利用指数幂的运算，对数的运算性质求解即可.
【详解】
（1）原式 ；
（2）原式 .
【点睛】
本题考查指数幂的运算和对数的运算性质，是基础题.
19．已知函数
（1）判断 在 上的单调性（不需要证明）；
（2）若 在 上为单调函数，求 的取值范围.
A C⊆ 2
8 4
a
a
−
+
a
{ | 3}B x x= <
{ | 2 3}A B x x∩ = − < < { | 4}A B x x∪ = <
R { | 3}B x x=
2a = { | 2 10}C x x= < <
R( ) { |3 10}C x xB ∩ = <
A C⊆
2
8 4
a
a
−
+
4 2a− −
0.5
0 21 ( 2)16
π
− + + −
21 log 5lg 400 2lg 2 2 +− −
8−
11 1 2 4 1 2 74
− = + + = + + =
400lg 400 lg 4 2 5 lg 10 2 10 84
= − − × = − = − = −
2
ln( ) 1, 1,( ) 1, 1.
x xf x x ax x
− + < −= − + − −
( )f x ( , 1)−∞ −
( )f x ( , )−∞ +∞ a
【答案】（1） 在 上为减函数（2）
【解析】（1）根据复合函数单调性的判断原则，同增异减，可得答案；
（2）分段函数为单调函数，则每一段具有相同的单调性，可得 在 上也为
减函数，另外根据函数左边一段的最小值不能小于右边一段的最大值，列不等式求解.
【详解】
解：（1） 在 上为减函数， 在 为增函数，
在 上为减函数，
在 上为减函数；
（2）由（1）知， 在 上为减函数，
则 在 上也为减函数，
所以 ，且 ，
解得 .
【点睛】
本题考查分段函数的单调性，注意各段之间的最值关系，是基础题.
20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，
地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 .
(1)已知地震等级划分为里氏 级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于 级的为
“小地震”,介于 级到 级之间的为“有感地震”,大于 级的为“破坏性地震”若某次
地震释放能量约 焦耳，试确定该次地震的类型;
(2)2008 年汶川地震为里氏 级,2011 年日本地震为里氏 级,问:2011 年日本地震所释放
的能量是 2008 年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 )
【答案】(1) 破坏性地震
(2) 倍
【解析】(1)先阅读题意，再计算 ，即可得解；
(2)结合地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为
，再求出 ，再求解即可.
【详解】
( )f x ( , 1)−∞ − 3 2a− −
( )f x [ 1, )− +∞
y x= − R lny x= (0, )+∞
ln( )y x∴ = − ( ,0)−∞
( )f x∴ ( , 1)−∞ −
( )f x ( , 1)−∞ −
( )f x [ 1, )− +∞
12
a −
2( 1) 1 ln1 1a− − − − +
3 2a− −
E M 4.8 1.5lgE M= +
12 2.5
2.5 4.7 4.7
1210
8 9
10 3.2=
32
12 10 4.8 = 4.81.5
lgM
−=
E M
4.8 1.5lgE M= + 1 2 ,E E
解:(1)当某次地震释放能量约 焦耳时, ，
代入 ,得 .
因为 ,所以该次地震为“破坏性地震”.
(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为 .
由题意知, ，
即 ,
所以
取 ,得
故 2011 年日本地震所释放的能量是 2008 年汶川地震的 倍.
【点睛】
本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属
中档题.
21．已知 为二次函数，且 ， .
（1）求 的解析式；
（2）设 ，若关于 的方程 在 上有解，求
的最大值.
【答案】（1） （2）4
【解析】（1）设 ，根据条件，列方程组求出 即可；
（2）将关于 的方程 在 上有解转化为 在
有解，利用换元法求出 的最大值即可得结果.
【详解】
（1）设 ，
， .
102 1210E =
4.8 1.5lg E M= + 12 10 4.8 12 4.8= 4.81.5 1.5
lgM
− −= =
4. 8 4.7>
1 2,E E
1 2 16.8, 18.3lg E Ig E= =
16.8 18.3
1 210 , 10E E= =
1.52
1
10 10 10E
E
= =
10 3.2= 2
1
32E
E
=
32
( )f x (0) 1f = ( 2) ( ) 16 8f x f x x+ − = +
( )f x
2( ) (4 )g x k x= − x ( ) ( ) 0f x g x− = 1 ,3
+∞
k
2( ) 4 4 1f x x x= − +
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ , ,a b c
x ( ) ( ) 0f x g x− = 1 ,3
+∞
2
1 4k x x
= − +
1 ,3
+∞
2
1 4
x x
− +
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
(0) 1f = 1c∴ =
，解得 ，
；
（2）由（1）得， .
由 ，得 ，所以 .
令 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 ，即 时， 取得最大值 4，
所以 的最大值为 4.
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，考查单调性求函数最值，注意将有解问题转
化函数最值问题，考查学生的转化能力和计算能力，难度不大.
22．已知函数 ， .
（1）解方程 ；
（2）判断 在 上的单调性，并用定义加以证明；
（3）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 （2）在 上单调递减，在 上单调递增，证
明见解析
（3）
【解析】（1）由已知得 ，解方程即可；
（2）任取 ，且 ，则 ，分
( )2 2( 2) ( ) ( 2) ( 2) 4 4 2 16 8f x f x a x b x c ax bx c ax a b x+ − = + + + + − + + = + + = +
4 16
4 2 8
a
a b
=∴ + =
4
4
a
b
=
= −
2( ) 4 4 1f x x x∴ = − +
2( ) ( ) 4 1f x g x kx x− = − +
2 4 1 0kx x− + = 2 1 4kx x= − + 2
1 4k x x
= − +
1 (0 3)t tx
= < <
2 2
2
1 4 4 ( 2) 4k t t tx x
= − + = − + = − − +
2( 2) 4y t= − − + ( )0,2 ( )2,3
2t = 1
2x = 2( 2) 4t− − +
k
2( ) log log 4xf x x= + ( ) ( 0)ag x x ax
= + >
( ) 3f x =
( )g x (0, )+∞
( ) 1f x m − (1, )x∈ +∞ m
2x = 4x = (0, )a [ , )a +∞
( ,1 2 2]−∞ +
2
2( ) log 3log
2xf x x
= + =
1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) 1 2
1 2 1 2
1 2
x x ag x g x x x x x
−− = −
和 讨论可得答案；
（3）将不等式 对 恒成立问题转化为 ，
的最小值问题，求出 的最小值即可得 的取值范围.
【详解】
（1）由已知 .
所以 ，得 或 ，
所以 或 ；
（2）任取 ，且 ，则
.
因为 ，且 ，
所以 ， .
当 时， 恒成立，
，即 ；
当 时， 恒成立，
，即 .
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3） ， ，
令 ， .
由（2）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
1 2x x a< < 1 2a x x<
( ) 1f x m − (1, )x∈ +∞ 2
2
2( ) log logf x x x
= +
(1, )x∈ +∞ ( )f x m
4
2
2
2( ) log loglog l
1 2
ogf x x xx x
= + = +
2
2( ) log 3log
2xf x x
= + =
2log 1x = 2log 2x =
2x = 4x =
1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x<
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
a a x x ag x g x x x x xx x x x
−− = − + − = −
1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x<
1 2 0x x− < 1 2 0x x >
1 2x x a< < 1 2 0x x a− <
( ) ( )1 2 0g x g x− > ( ) ( )1 2g x g x>
1 2a x x< 1 2 0x x a− >
( ) ( )1 2 0g x g x− < ( ) ( )1 2g x g x<
( )g x (0, )a [ , )a +∞
2
2
2( ) log logf x x x
= + (1, )x∈ +∞
2log (0, )t x= ∈ +∞ 2( ) ( 0)h t t tt
= + >
2( )h t t t
= + (0, 2) [ 2, )+∞
min( ) ( 2) 2 2h t h= =
1 2 2m −
即 ，
故 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查函数单调性的判断和证明，考查函数不等式恒成立问题，转化为最值问题即可，
是中档题.
1 2 2m +
m ( ,1 2 2]−∞ +