2019-2020学年江苏省南通市通州区高二上学期期中学业质量监测数学试题 9页

2019～2020学年（上）高二期中学业质量监测 数学试题 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： I. 答卷前，考生务必将自己的姓名、 考试号、 考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 作答选择题 时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑：如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 一、－选择题：本题共10小题， 每小题5分， 共 50分。在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的。 1. 在等比数列｛a，，｝中，若a1 =1，公比 q=J"i.，则a1 = A. 4 B. 8 c. 2J"i. 2. 若实数α，b满足αb>O，.则立＋駦的最小值为2α b A. 2 B. ±2 3. 双曲线一丘＝1的渐近线方程为4 3 A. y ＝ 中 B. y=±J3x c. 4 c . y ＝ 土手 x ( ... ) D. 64 ( ... ) D. 8 ( ... ) D. y ＝ 土2x 4. 设等差数列｛an｝的前n项和为乱，己知a4 +a14 = 2，则s11 = < .a. ) A.34 B. 旦2 c. 14 D. 17 5. 若椭圆短轴的两个端点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为 ( ... ) A. J2 J2B. T c. .!.2 6. 若x εR， 则 “ x2 < 1 ” 是 “ l>l ” 成立的x 高二数学试卷A 第 l 页（共 4 页） /?,D. T ( ... ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 c. 充要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 己知椭圆的两个焦点坐标为F;(-Ji' 0 ），乓（Ji，的，点P在椭圆上， ／：：，. pj飞F2 的最大 面积为2，则此椭圆的方程为 ( . ) A 寻＋ y2 =1 B. ⺌＋⼚＝ 14 2 - ，、 2 C 兮＋ 2y2 =1 D. L＋⺌ ＝14 2 8. 己知数列｛α，｝的Jfil项公式是a = ' 1 ，则该数列前20项的和为 ( • )’nι +3n+2 A. 立 20 B. l旦 21 c. 二11 D. 1122 9. 拟设计 一 幅宣传画， 要求画面（小矩形）面积为 4840cm2 , 它的两边都留有宽为Scm的空白，顶部和底部都留有 宽为8cm的空白．当宣传画所用的纸张（大矩形）面积 最小时，画面的高是（ .& ) cm. 8 5 5 A. 48 B. 60 c. 78 D. 88 8 （第9题） 眈设椭圆和双曲线有公共焦点乓，乓，两曲线的 一 个公共点 为p ，且矶 P 乓＝ ？ － i己 e1 , e2 分别为椭圆和双曲线的离心率，则e／＋旷的最小值为 ( • ) JjA. τ B. 1 千 c. 2 5－2 D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11.若 “ 3x E R , x 2 + 2x + a ＜。 ” 是假命题， 则实数 。的取值范围是 一生一 { Ji 12. 己知椭圆C 经过Aj- 2 ，一一 J, B(O，一 1），则椭圆 C的标准方程为�一－ 2 I 13.若双曲线2kx 2 一 句 ？ =1 的 一 个焦点是 F(O, 4 ），则实数k的值为�－ 高二数学试卷第2页（共4页） 14.己知等差数列｛αn｝中的前三项和为12，且 2a1 ’吨，α3 +1依次成等比数列，则数列 {a.｝的公差所有可能的值为一生一－ x2 +3 15.函数 v=x＋ 一一？ C x > 1）的最小值为 .Ax-1 16.己知集合A ={xix＝仙一1.nEN丁，B = {:X I x = 2" ' 11 εN•｝.将AUE的所有元素 从小到大依次排列构成一个数列｛α.｝.记且为数列｛a.｝的前n项和，若Sm =3014, 则正整数 11l 值为 .A 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分10分） 设命题p z方程」＝－－－＋ 一主一 ＝1表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足m+6 2m-8 m2 - 3am - 4a2 < 0 ( a > 0 ) . (1〕若p真，q假，求实数m的取值范围： (2）若q是p成立的必要不充分条件，求α的取值范围． 18. （本小题满分12分） 己知数列｛a㌌｝的前n项和为S,, . (1）若酬。”｝是等比数列，若内 ＋ 2a7 = 0 ，求去的值： (2）若数列（。”｝是等差数列，且轧 ＝ m, Sm =n ( m 白i)，求 s㌌峭 的值． 19. （本小题满分12分） 己知x,y均为正实数，且x+3y=4. (1）求l＋主的最小值：x y ω 求川y2 一乡的最大值 高二数学试卷 第 3页（共4页） 20. （本小题满分12分〉 在平面直角坐标系 xOy 中，己知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，经过点 （－Ji ,1), 且一个焦点到一条渐近线的距离为1. Cl）求双曲线C的方程： (2）若过点（1, 0）的直线l与双曲线C交于 A,B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点， 求直线 l 的 方程 ． 21. （本小题满分12分） 设数列｛a,J (1)证明：数列饵，｝是等比数列： (2）若数列｛ι｝满足bn ::: 2 + log2 a，， ’求数列｛αn ·b，，｝的前n项和为乙： (3）若数列｛c..｝满足Cn +cn+I ::: 2 log2 气，且对任意11二泣，nEN•，都有 c� ＋c,1 注3(cn +c,,+1 ）成立，求首项c1的取值范围． 22. （本小题满分12分〉 在平面直角坐标系均中，己知椭圆C：牛牛1（α＞b>O）的离心率为手，a b 短轴长为2. (1）求椭圆C的方程： (2）椭圆上一动点M与 A(-2，。）， B(2, 0）的连线分别交椭圆于 P,Q 两点， 若AM＝λAP, BM=µBQ . ①若λ＝2，求直线 AM的方程： ②判断λ＋μ是否为定值，并说明理由． 高二数学试卷第4页（共4页） 高二数学试卷 第 1 页（共 5 页） 2019~2020 学年（上）高二期中学业质量监测 数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 1． B 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 11． 1 +， 12． 2 2 18 x y  13． 3 32 14．3 或4 15．3 4 2+ 16．37 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。 17. （本小题满分 10 分） 【解】若 p 是真命题，则 6 2 8 0m m    ， 解得 4 14m  ． …… 2 分 由 2 23 4 0m am a   （ 0a  ），解得 4a m a   ． …… 4 分 （1）当 2a  ，命题 q ： 2 8m   ， 因为 p 是真命题，同时 q 是假命题， 所以8 14m ≤ ． …… 6 分 （2）因为 q 是 p 成立的必要不充分条件， 所以 4 14 4 a a   ， ≤ ， ≥ 解得 7 2a≥ ， 综上，实数 a 的取值范围是 7 2a≥ ． ……10 分 18. （本小题满分 12 分） 【解】（1）设等比数列 na 的公比为 q ， 因为 4 72 0a a  ，解得 3 1 2q   ， …… 2 分 所以 9 1 9 9 6 6 6 1 1 3= 2 1 a q S q q S a q q q     （1- ） 1- （1- ） 1- ． …… 5 分 高二数学试卷 第 2 页（共 5 页） （2）设等差数列 na 的公比为 d ， 又 n mS m S n ， ，所以 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 n m n nS na d m m mS ma d n         ， ， 所以 1 1 ( 1) ( 1) 2 2n m n n m mS S na d ma d m n           ， …… 7 分 即   1 ( 1) ( 1) 2 n n m mn m a d m n      ， 又因为 m n ，所以 1 + 1 12 n ma d   ， …… 9 分 所以 +n mS = 1 1 ( )( 1) 1) ) )2 2 m n m n m nm n a d m n a d m n               （ （ （ ． …… 12 分 19. （本小题满分 12 分） 【解】（1）   3 2 6 71 2 1 1 2 1 2= 3 74 4 4 y xx yx y x y x y                 ≥ ， …… 3 分 当且仅当 3 2y x x y ，且 3 4x y  时，取“=”， 解得 2(3 3)3 3x y  -1， ． 所以 1 2 x y 的最小值为 2 6 7 4  ． …… 5 分 （2）因为 x y， 均为正实数，且 3 4x y  ， 所以 3 2 3x y x y ≥ ，解得 4 3xy ≤ ，即 40 3xy ≤ ． …… 7 分 又  22 2 6 69 3 6x y x y xyxy xy      116 6 4xy xy       ≤ ． …… 10 分 当且仅当 1xy  且 3 4x y  时，取“=”， 解得 1 1x y ， 或 13 3x y ， ． 所以 2 2 69x y xy  的最大值为 4． …… 12 分 高二数学试卷 第 3 页（共 5 页） 20．（本小题满分 12 分） 【解】（1）因为双曲线 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上， 设双曲线 C 的方程为 2 2 2 2: 1( 0 0)y xC a ba b   ， ， 所以渐近线方程为 by xa  ，焦点为（c，0）． …… 2 分 又一个焦点到一条渐近线的距离为 1， 解的 1b  ． …… 4 分 所以双曲线 C： 2 2 2 1y xa   经过点( 2 1) ， ， 解得 2 1 3a  ， 所以双曲线 C 的方程为 2 23 1y x  ． …… 6 分 （2）设经过点(1 0)， 的直线l 的方程为 1x ty  ， 由 2 23 1 1 y x x ty       ， ， 消x 得 2 23 2 2 0t y ty    ， 所以 1 2 1 22 2 2 2 3 3 ty y y yt t     ， ． …… 9 分 又以 AB 为直径的圆过原点，所以 1 2 1 2 0x x y y  ， 代入解得 1t   ， 所以直线l 的方程为 1y x  或 1y x   ． …… 12 分 21．（本小题满分 12 分） 【解】（1）因为 1 ( 1)2n na S  ，所以 +1 +1 1 ( 1)2n na S  ， 即 +1 +1 1 2n n na a a  ， 所以 +1 2n n a a  ， 所以数列{ }na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列． …… 3 分 （2）由（1）知， 12n na  ，所以 22 log = 1n nb a n   ． 所以 1=( 1) 2n n na b n    ， 0 1 1=2 2 +3 2 + +( 1)2n nT n    ……①， 高二数学试卷 第 4 页（共 5 页） 1 22 =2 2 +3 2 + +( 1)2n nT n   ……②， 两式相减，得  0 1 2 1=2 2 + 2 +2 + +2 ( 1)2 = 2n n n nT n n     ， 所以 = 2n nT n  ． …… 7 分 （3）由 1 2+ 2log =2 2n n nc c a n   ， 当 1n  时， 1 2 0c c  ， 又 +1 2+ 2n nc c n  ，所以 2 2n nc c   ， 即 1 3 5c c c ， ， ， 成等差数列， 2 4 6c c c ， ， ， 成等差数列， 当 n 为奇数时， 1 1 12 2 12n nc c n c     ， 当 n 为偶数时，  2 12 1 2 22n nc c n c      ． …… 8 分 又 2 2 1 13( )=6 6n n n nc c c c n  + ≥ ， 当 n 为奇数时，    22 1 11 +1 2 6 6n c n c n      + ≥ ， 即 2 2 1 12 +6 4c c n n  ≥ 对任意的 n 为奇数恒成立， 当 1n  时， 2( ) +6 4f n n n   取得最大值为 1， 所以 2 1 12 1c c ≥ ，解得 1 2 1c ≥ 或 1 2 1c  ≤ ． …… 10 分 当 n 为偶数时，    22 1 12 +1 + +1 6 6n c n c n    + ≥ ， 即 2 2 1 14 +3 7c c n n  ≥ 对任意的 n 为偶数恒成立， 当 2n  时， 2( ) +3 7f n n n   取得最大值为 5 ， 所以 2 1 14 5c c ≥ 恒成立， 所以 1c 取值范围是  2 1 2 1       ， ， ． …… 12 分 22．（本小题满分 12 分） 【解】（1）因为椭圆的离心率为 2 2 ，短轴长为 2， 所以 2 2 22 2 22 c b a b ca    ， ， ， 解得 21 2b a ， ， 所以椭圆的方程为 2 2 12 x y  ． …… 3 分 高二数学试卷 第 5 页（共 5 页） （2）① 当 =2 ， 2AM AP   ，所以 0 1 0 1 2 2 2 xx yy     ， ， 又因为点 M，P 在椭圆上， 2 20 0 12 x y  且 2 2 0 0( 2) 18 4 x y   ， 解得 0 1= 2x  ， 0 14= 4y  ． …… 5 分 所以直线 AM 的斜率为 14 6 ， 所以直线 AM 的方程为 14 14 6 3y x  或 14 14 6 3y x   ． …… 7 分 ② 设 0 0( , )M x y ， 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 则 2 21 1 12 x y  ， 2 20 0 12 x y  ． 由 AM AP    ，得 0 1 0 1 2 ( 2)x x y y        ，所以 0 1 0 1 2(1 )xx yy         ，…… 9 分 所以 2 2 0 0 2 2 [ 2(1 )] 12 x y      ， 即 2 2 20 0 02 2 2 1 4(1 ) 4(1 )( ) 12 2 2 x y x         ， 所以 2 02 2 2 1 2(1 ) 2(1 ) 12 x        ， 解得 03 2x  ． …… 11 分 同理可得 03 2x  ，所以 6   为定值． …… 12 分