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- 2024-02-22 发布
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第十八单元 直线与圆
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线过点且它的一个方向量为，点直在线上移动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与两直线和分别交于，两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．若圆心在轴上，半径为的圆位于轴的左侧，且与直线相切，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设点是圆是任一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，满足与原点的距离为，与点的距离为的直线的条数共有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则此光线经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
12．已知圆的半径为，，为该圆的两条切线，，为切点，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程是________．
3
14．在直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为 ．
15．若直线将圆平分，但直线不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是 ．
16．设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系是 ．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线；
（1）求与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4直线方程；
（2）已知圆心为，且与直线相切求圆的方程．
18．（12分）的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程．
3
19．（12分）已知点及圆：．
（1）当直线过点且与圆心的距离为1时，求直线的方程；
（2）设过点的直线与圆交于，两点，当时，求以线段为直径的圆的方程．
20．（12分）已知直线和曲线：相切，和轴、轴分别交于点和点，．
（1）求证：；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求面积的最小值．
3
21．（12分）直线过点，且分别交轴、轴的正半轴于点、，为坐标原点．
（1）当的面积最小时，求直线的方程；
（2）当取最小值时，求直线的方程．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，；
（1）求的取值范围；
（2）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
3
单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）
第十八单元 直线与圆
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】设直线的斜率为，则，又直线过点，
∴直线的方程为，即，易知当时，最小，
最小值就是原点到直线：的距离，
由点到直线的距离公式得．故选B．
2．【答案】D
【解析】由题设知，，解得，或，故选D．
3．【答案】D
【解析】由题意可设，，∵线段的中点为，
∴，，解得，，∴，，
则，故选D．
4．【答案】D
【解析】设圆心为，∵圆与直线相切，∴，
解得，∴圆的方程为，故选D．
5．【答案】A
【解析】由题设知，圆心，∵是弦的中点，∴，
∵，故，∴的方程为：，即，故选A．
6．【答案】D
【解析】圆即为，∴两圆的半径相等，
∵圆与圆关于直线对称，
∴由圆与圆的位置关系可知，直线即为两圆的公共弦所在的直线，
由 两式相减并化简得的方程为，故选D．
7．【答案】C
【解析】当时，直线变为，此时倾斜角为；
当时，直线的斜率为，∵，∴且，
则斜率，即，
又，∴，综上知，，故选C．
8．【答案】B
【解析】由得，，∵点在圆上，
∴此直线与圆有公共点，故点到直线的距离，即，
解得：，故选B．
9．【答案】C
【解析】问题等价于以原点为圆心，以1为半径的圆与以为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数，易知两圆相外切，所以公切线条数有3条，故选C．
10．【答案】B
【解析】即为，∴圆心为，半径为，曲线即为两直线和，∵即为轴，∴一定与曲线有两个交点，要使与有四个不同的交点，则与圆有两个交点，
则，即，∴ ，又，
∴，故选B．
11．【答案】A
【解析】由题设知，直线的方程为，
则点关于直线及轴的对称点分别为，，
由物理学知识知，光线经过的路程即为，故选A．
X
Y
O
P
A
B
P1
P2
12．【答案】D
【解析】如图，设，∵，，∴，
令，，则，
由圆的切线性质可得，，∴，
设，则，∴，
当且仅当时取等号，∴的最小值为，故选D．
A
B
P
O
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】或
【解析】若截距不为，设所求方程为，又点在直线上，所以，
所以，即所求直线方程为．若截距为，设所求方程为，
由题意得，，即所求直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或．
14．【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，
如图所示，是一个三角形，易知此三角形为等腰，
且，，，，∴外接圆的圆心为，
半径为，故外接圆的方程是．
X
Y
O
A
B
C
15．【答案】
【解析】圆即为，∴圆心为，
∵直线将圆平分，∴直线过圆心，
过点与轴平行的直线的斜率为0，过点和原点的直线的斜率为，
∵直线不过第四象限时，∴数形结合可得，其斜率的取值范围是．
X
Y
O
(1,2)
16．【答案】相交
【解析】∵直线过定点，且点在圆的内部，
∴曲线M是以ON为直径的圆，则M的圆心为，半径为，
∵点到直线的距离，
∴曲线M与直线相交．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）∵所求的直线与直线垂直，
∴设所求的直线方程为，
∵令，得；令，得．
∵所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为4．
∴，∴，
∴所求的直线方程为或．
（2）设圆的半径为，∵圆与直线相切
∴，∴所求的圆的方程为．
18．【答案】．
【解析】设关于的平分线的对称点，
则，解得，即，
设，则中点的坐标为．
且满足，
即，∴．∴．
∵也在直线上， ∴所在直线的方程为．
19．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）由，得，
∴圆心为，半径；
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则方程为，
∵直线与圆心的距离为1，∴，解得；
又直线过点，
∴直线的方程为，即；
当直线的斜率不存在时，的方程为，满足题意；
故直线的方程为或；
（2）∵圆的半径，，∴弦心距，
又，∴点为的中点，
故以线段为直径的圆的方程为：．
20．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）设直线的方程为，即，，圆的方程为．
∵直线和圆相切，∴，整理得．
（2）设的中点坐标为，则，，
代入得，即．
（3），
当且仅当，即时，面积的最小值．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】由题意直线的斜率存在，且，
设所求直线方程为，则，．
（1）
．
当且仅当，即时，的面积最小，
此时直线的方程为．
（2）∵，，．∴，，
∴，
当且仅当，即时，取最小值时，
此时直线的方程为．
22．【答案】（1）；（2）不存在，见解析．
【解析】（1）圆的方程可写成，∴圆心为，半径，
过且斜率为的直线方程为：；
代入圆的方程并整理得，．①
∵直线与圆交于两个点，∴圆心到直线的距离小于半径，
即，化简得，，．
（2）设，，则，
由方程①得，，②又，③
而，，；
∴与共线等价于：，
将②③代入上式得，，解得，
由（1）知，．故没有符合题意的常数．
