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- 2024-02-22 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！江西省鹰潭市第一中学2017届高三上学期第四次月考（期中）
理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.如果，那么下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：不等式的基本性质.
2.已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，所以.
考点：集合交集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
3.若角的终边上有一点，则的值是（ ）
A．1 B． C．4 D．-4
【答案】C
【解析】
试题分析：，终边和终边相同，故横坐标和纵坐标相等，所以.
考点：三角函数.
4.数列的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：令，验证后排除A，B，C三个选项.故选D.
考点：数列的基本概念.
5.设，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
考点：对数不等式；指数不等式；充要条件.
6.函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：两个对称中心间的距离是半周期，为.
考点：三角函数图象与性质.
7.已知函数，且， 则（ ）
A．3 B．-3 C．0 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：，所以.
考点：三角恒等变形.
8.已知向量为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：如下图所示，根据向量加法的几何意义和正弦定理，有.
考点：平面向量.
9.已知，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
考点：基本不等式.
10.数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，
值等于（ ）
A．11 B．17 C．19 D．21
【答案】C
【解析】
试题分析：由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.
考点：等差数列的基本性质.
11.设，其中为实数，若，则的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：向量运算.
【思路点晴】首先根据两个向量平行的概念，由得到，第二个式子含有三角函数，则先利用同角三角函数关系式化简，配方后得到，我们将看成，看成，则已知条件化为，表示的区域是抛物线之间的区域，由图可知，可行域是线段上的点，求出，即得斜率即的取值范围.
12.若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实
数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：可化为，令，显然，函数过定点，令，所以在，单调递减，在，单调递增，在处取得极小值，画图象下图所示，由图可知，当直线介于之间时，符合题意的解集为，且中只有一个整数解.，所以，所以.
考点：导数.
【思路点晴】本题主要考查化归与转化的数学思想方法，考查函数导数与单调性、极值和最值的关系，考查函数数形结合的数学思想方法.先将圆不等式转化为两个函数，图象是直线，过定点，利用导数求出的单调区间和极值，画出图象，旋转直线，结合题目要求“一个整数点”，就可以求得的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.如图，曲线与直线所围成的阴影部分的面积是___________．
【答案】
【解析】
试题分析：由图可得.
考点：定积分.
14.数列满足，对任意的都有，则
_________．
【答案】
考点：累加法；裂项求和法.
15.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：根据，有，由于，所以，没有最小值，所以不符合；令，
，故当时取得最大值为，故.
考点：函数导数与不等式.
【思路点晴】本题考查多个知识点：绝对值不等式、分离常数法，利用导数求极值与最值.由于原不等式是绝对值不等式，利用绝对值不等式的解法，可去绝对值化为，由于，所以上述不等式可化为，第一个不等式解集为空集，第一个不等式利用导数可求得右边的最大值为，故.
16.在钝角中，为钝角，令，若．现给出下
面结论：
①当时，点是的重心；
②记的面积分别为，当时，；
③若点在内部（不含边界），则的取值范围是；
④若，其中点在直线上，则当时，．
其中正确的有______________（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
考点：向量，线性规划.
【思路点晴】本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，考查了三角形重心的性质，考查了化归与转化的数学思想方法，考查了线性规划等知识.由于题目是选填题，所以只能逐一排除.第一个是利用了三角形重心的几何性质来解；第二个是利用平面向量的基本定理来解；第三个转化为线性规划来求解；第四个是利用三点共线来排除.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
（1），由于，则，∴；，，所以，解得或.
（2），∵，∴，∴或，∴的取值范围是．
考点：一元二次不等式；集合交集、并集和补集；子集.
18.（10分）已知在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【答案】（1）；（2）.
考点：等差数列的基本概念；分组求和法.
19.（12分）在直角坐标系中，已知点．
（1）若向量的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）若，点在三边围成的区域（含边界）上，，求
的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由于两个向量所称角为钝角，所以，解得；（2）时，，解得，令，画出可行域，由图知当直线过点时，取得最大值，故的最大值为．
考点：平面向量；线性规划.
20.（12分）在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理化简得到，因此；（2）化简得到，根据
求得取值范围为.
（2）
，
由可知， ，所以，从而，
，故范围为．
考点：解三角形.
21.（12分）设函数是定义域为的奇函数；当时，．
（1）当时，求；
（2）对任意的，不等式都成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先设，根据函数的奇偶性，有
；（2）结合二次函数的性质，有，所以恒成立，所以，所以，即．
试题解析：
考点：求函数解析式；三角不等式.
【方法点晴】本题考查函数的奇偶性，三角函数的值域.第一问已知奇函数一部分的解析式求另一部分的解析式，主要原理是：求那部分就取那部分的任一个数，然后就属于已知部分的定义域，再根据奇偶性，就可以求出相应的解析式，有时候要注意.第二问是恒成立问题，由于题目含有三角函数，利用同角三角函数关系可求得，从而.
22.（14分）已知函数，其中常数．
（1）当，求函数的单调递增区间；
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，若
在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称
点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求得定义域求导得，由于，所以增区间为；（2）当时，，利用导数求得切线，两式相减得，利用导数求得以当时，存在“类对称点”.
（2）当时，，
∴，，
令，
则，
，当时，在上单调递减．
∴当时，，
从而有时，，
当时，在上单调递减，
∴当时，，
从而有时，，
∴当时，不存在“类对称点”．
当时，，
∴在上是增函数，故，
所以当时，存在“类对称点”．
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.由于题目有新定义，解答题目时就需要围绕着这个不等式来证明.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.
恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．