数学（理）卷·2018届天津市静海一中高二下学期期末终结性检测（2017-07） 17页

静海一中2016-2017第二学期高二理科数学（7月）‎ 期末终结性检测试卷 考生注意：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（ 135分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。‎ 知 识 技 能 学习能力 习惯养成 总分 内容 复数 统计 推理证明 函数与导数应用 转化化归 卷面整洁 ‎150‎ 分数 ‎ 10‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎3-5分 第Ⅰ卷 基础题（共135分）‎ 一、选择题: （每小题5分，共40分） ‎ ‎1．若为实数，且，则＝(　　)‎ A．－1 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎2．某赛季甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为(　　)‎ A．19、13 B．13、19‎ C．20、18 D．18、20‎ ‎3.曲线与坐标周围成的面积（ ）‎ ‎ A．4 B．‎2 C． D．3‎ 4． 已知，则＝(　　)‎ A. 2015　　 B. －‎2015 C. 2014 D. －2014‎ ‎5．观察下列各式：，，，，，…，则 (　　)‎ A. 28 B. ‎76 C. 123 D. 199‎ ‎6. 如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数 的图象与轴及围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7.已知函数满足，且的导函数，则的解集为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8.记定义在R上的函数的导函数为，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间上“中值点”的个数为 ( )‎ A.4 B．‎3 C.2 D.1‎ 二、填空题：（每小题5分，共30分）‎ ‎9．已知 是虚数单位，复的共轭复数为 ．‎ ‎10．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点 处的切线方程为_____．‎ ‎11. 二项式的展开式中所有有理项的系数和为_____．(数字作答)‎ ‎12．若，则_______________ ‎ ‎13. 记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．‎ ‎14. 已知函数的导函数为，且，如果 恒成立，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题（本大题共6题，共80分）‎ ‎15. （12分）数列的前项和为，且满足 ‎ ‎(1)计算，，，；‎ ‎(2)猜想通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎16. （13分）已知函数，（）‎ ‎（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在（）处的切线的斜率为，存在，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎17．（13分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次未能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎18. （14分）已知函数，为其导函数，且时有极小值.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若，，当时，对于任意，和的值至少有一个是正数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）‎ ‎19.‎ ‎ （13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,50]．‎ ‎(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；‎ ‎(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 第Ⅱ卷 提高题（共15分）‎ ‎20. 已知函数，，其中，设，‎ ‎（1）若在处取得极值，且．求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，函数有两个不同的零点，‎ ‎①求的取值范围； ②求证：．‎ 静海一中2016-2017第二学期高二理科数学（7月）‎ ‎ 期末终结性检测答题纸 得分框 知识与技能 学法题 卷面 总分 第Ⅰ卷基础题（共135分）‎ 二、填空题（每题5分，共30分）‎ ‎ 9.______ _ 10._____ __ 11._______ ‎ ‎12. _ _____ _ 13. 14. ‎ 三、解答题（本大题共6题，共80分） ‎ ‎15. （12分）‎ ‎16.（13分）‎ ‎17.（13分）‎ ‎18．（14分）‎ ‎19．（13分）‎ 第Ⅱ卷 提高题（共15分）‎ ‎20. （15分）‎ 高二数学（理）期末答案 一、选择题: （每小题5分，共40分） ‎ ‎1．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)B A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎2．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为(　　)A A．19、13 B．13、19‎ C．20、18 D．18、20‎ ‎3.曲线与坐标周围成的面积（ ）D ‎ A．4 B．‎2 ‎ C． D．3‎ 4． 已知f(x)＝x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝(　　)B A. 2015　　　　　　　　 B. －2015‎ C. 2014 D. －2014‎ ‎5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)C A. 28 B. 76‎ C. 123 D. 199‎ ‎6. 如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：易知区域D的面积为4，由定积分公式知区域E的面积为，因此，点落入E中的概率P＝＝.选B ‎7.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则f(x)<＋的解集为(　　)‎ A．{x|－11} D．{x|x>1}‎ 解析：设F(x)＝f(x)－－，则F(1)＝f(1)－－＝0，对任意x∈R，F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)<0的解集为(1，＋∞)，即f(x)<＋的解集为(1，＋∞)，选D.‎ ‎8.记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数为 ( )C A．4 B．‎3 C．2 D.1‎ 解析：设函数f(x)的“中值点”为x0，则f′(x0)＝＝＝1，即3x－3＝1，解得x0＝±＝±∈[－2,2]，故函数y＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数是2.‎ 二、填空题：（每小题6分，共30分）‎ ‎1．已知 i是虚数单位，复数的共轭复数为 ．‎ ‎2．已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．‎ 解析：因为y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g(2)＝22＋f(2)＝7，即点(2，g(2))为(2,7)，g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.‎ 答案：6x－y－5＝0‎ ‎3. 二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)‎ 析：Tr＋1＝C·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·C26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，Tr＋1＝(－1)rC26－r 为有理项，则所有有理项的系数和为C26＋C24＋C22＋C20＝365.‎ ‎4．若，则_______________ ‎ ‎5. 记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．2/9‎ ‎6. 已知函数的导函数为，且，如果 恒成立，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题（本大题共4题，共50分）‎ ‎1. （10分）数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an(n∈N)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．‎ 解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.‎ ‎(2)猜想an＝，证明：‎ 当n＝1时，a1＝1猜想显然成立；①‎ 假设当n＝k(n≥1且n∈N)时，猜想成立，‎ 即ak＝，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak，‎ 那么，‎ n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)，‎ ‎∴ak＋1＝＝＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时猜想成立；②‎ 综合①②，当n∈N时猜想成立．‎ ‎2. 16.解：（Ⅰ）因为，①，②。‎ 由①②解得：，.‎ 此时，，‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1,2）‎ ‎2‎ ‎（2，+∞）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 减 极小 增 极大 减 所以，在取得极小值，在取得极大值 ‎（Ⅱ）若函数在（）处的切线的斜率为，则，则 故 若成立，则成立，‎ ‎∵, ∴且等号不能同时取，所以，即．‎ 因而()．‎ 令（），又，‎ 当时，，，‎ 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数．‎ 故的最大值为，所以实数的取值范围是．‎ ‎2．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次未能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，‎ A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，‎ B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A‎1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.‎ 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以 P(B1)＝P(A‎1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，‎ P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×＋×＝.‎ 故获奖概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.故所求概率为1- ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.‎ 于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ ‎4. （15分）已知函数．‎ ‎(1)设函数，当时，讨论的单调性，并证明当时，‎ ‎(2)求函数的单调区间；‎ ‎(3)当时，若对任意，有成立，求实数的最小值．‎ ‎5.‎ 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,50]．‎ ‎(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；‎ ‎(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)∵小矩形的面积等于频率，‎ ‎∴除[35,40)外的频率和为0.70，‎ ‎∴x＝＝0.06.‎ ‎500名志愿者中，年龄在[35,40)岁的人数为0.06×5×500＝150(人)．‎ ‎(2)用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．‎ 故X的可能取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 第Ⅱ卷 提高题（共30分）‎ ‎5. 已知函数，，其中，设，‎ ‎（1）若在处取得极值，且．求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，函数有两个不同的零点，‎ ‎①求的取值范围； ②求证：．‎